Производная по направлению
Рассмотрим функцию в точках
и
.
Построим вектор . Углы наклона этого вектора к положительным направлениям координатных осей
обозначим соответственно
. Косинусы этих углов называются направляющими косинусамивектора
.
Расстояние между точками и
обозначим через
:
.
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
z
M
M1
y
x
Предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным
и
. Тогда справедливо равенство:
,
где величины – бесконечно малые при
функции.
Из геометрических соображений очевидно:
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:
;
.
Величина является скалярной. Она определяет направление вектора
. Определение. Предел
называется производной функции
по направлению вектора
в точке с координатами
.
Пример. Вычислить производную функции в точке
по направлению вектора
:
.
Решение. Определяем координаты вектора :
2
.
Находим модуль этого вектора:
=
.
Находим частные производные функции в общем виде:
Значения этих величин в точке А равны:
Для нахождения направляющих косинусов вектора проведём преобразования:
=
В качестве вектора примем произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. Получаем значения направляющих косинусов вектора
:
;
.
Окончательно находим: - значение производной заданной функции по направлению вектора
.
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 451;