Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Предел и непрерывность функции нескольких переменных
- Понятие функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты остаются справедливыми для функций произвольного числа переменных.
Пусть дано множество , и пусть указано правило (закон), по которому каждой точке ставится в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).
Функцию иногда записывают в виде .
Пример. На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .
Графиком функции называют множество точек пространства . Обычно графиком функции является некоторая поверхность.
Расстоянием между двумя произвольными точками и евклидова пространства называется число , определяемое формулой:
.
Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностью радиуса с центром в точке .
Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .
Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ).
Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.
Замечание. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.
Определение. Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.
Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества .
Пример. Если , то . При этом .
Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .
Замечание. Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.
Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку .
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 408;