Законы теплового излучения

Тело, нагретое до определенной температуры излучения света (излучение в широком диапазоне спектра). При этом тело, излучая энергию, остывает. Для поддержания излучаемой способности тела необходим постоянный приток энергии. Существуют различные виды излучения, называемые люминисценцией.Среди них: химилюминесценция, фотолюминесценция, катодолюминесценция, электролюминесценция. Все виды излучения, кроме теплового, являются неравновесными, т.е. между телом и излучением не устанавливается тепловое термодинамическое равновесие. Взяв кусок вещества (например Fе) и разогревая его, мы наблюдаем вначале покраснение, затем наличие желтых, зеленых, голубых и фиолетовых оттенков. При очень высокой температуре наблюдается белое каление, т.е. излучение всех длин волн. Этот факт требует теоретического объяснения. Два тела А₁ и А₂, имеющие различные температуры Т₁ и Т₂, помещенные в закрытую полость обмениваются энергией в виде излучений (менее нагретое тело излучает энергию, а более нагретое поглощает), наконец устанавливается температура Т обоих тел. При этом количество энергии, излучаемой каждым из тел равно количеству энергии, поглощаемым каждым из тел. Если тела разные и первое тело больше излучает чем второе с единицы площади в единицу времени, то оно же будет и больше поглощать с единицы площади в единицу времени. Данный факт называют ПРАВИЛОМ ПРЕВО, и оно легло в основу закона Кирхгофа. Энергия, излучаемая телом с единичной площадью в единицу времени, в интервале частот dw дает поток излучения тела

dФ_изл.=r_w,Тdw (1)

Величина r_w,т называются излучающей способностью тела [r_w,т]=Вт/м²Гц.

Поглощательной способностью а_w,т называют величину, равную отношению потока излучения поглощаемого телом к падающему на него потоку.

а_w,т = (2)

Закон Кирхгофа: Отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности, есть универсальная функция частоты и температуры, не зависящая от природы вещества, из которого сделано тело.

r_w,т/ а_w,т=f(w,Т). (3)

Тело называется абсолютно черным, если его поглощательная способность равна 1, а_w,т=1. Близкими по свойствам к таким телам относятся: сажа, обугленная платина, черный бархат и др. Для абсолютно черного тела выполняется соотношение:

r_w,т= f(w,Т) (4)

В состоянии термодинамического равновесия тела и средняя энергия излучаемая диполем дается соотношением:

Ф_изл.= (5)

где А - амплитуда колебаний осциллятора, е – заряд электрона, с- скорость света в вакууме, w- частота излучения.

Установлено, что средняя энергия поглощаемая одним осциллятором в единицу времени дается соотношением:

Ф_погл= , (6)

Где m – масса электрона, W- объемная плотность излучения в пространстве между излучателями. [W] = Дж/м³Гц.

При постоянной температуре (Т = соnst) выполняется соотношение: Ф_изл.= Ф_погл._. Приравняв (5) и (6) находим W:

= ; W= × ;

Итак, получаем:

W= (7)

Из механики известно, что кинетическая энергия осциллятора

W_осц.= ,

тогда

А²=2W_осц./mw² (8)

Подставим (8) в (7) получим, что

W=

или

W= (9)

В молекулярной физике установлено, что на одну степень свободы движения молекулы при температуре Т приходится энергия равная 1/2 k_вТ. Колебательные движения обладают удвоенной энергоёмкостью, так как включают наряду с кинетической энергией движения колеблющихся электронов и потенциальную энергию их взаимодействия с ядром.

Е_к=

Энергия осциллятора равна

W_осц=k_вT (10)

Подставим (10) в (9), тогда получим:

W= k_вT.

Учтем, что диполи ориентированы вдоль трех координатных осей. Тогда последнее выражение следует умножить на 3, то есть

W= k_вT (11)

Излучательная способность абсолютно черного тела дается очевидным соотношением:

f(ω, T)= .

Таким образом, получаем:

f(ω, T)= k_вT (12)

Последнее выражение называют формулой Релея-Джинса для абсолютно черного тела. Эта формула хорошо подтверждается экcпериментом для низких частот излучения. Формула (12) противоречит опытным данным и здравому смыслу для всего частотного спектра излучения. Найдем полную энергию излучения тела во всем интервале частот от 0 до +¥, тогда из (1) и (12) следует, что

Ф_изл= k_вT = .

Данный факт, противоречащий опыту, был назван ультрафиолетовой катастрофой. Это связано с тем, что излучение в любом интервале частот имеет бесконечное количество степеней свободы, а тело, состоящее из атомов - конечное число степеней свободы. Планк предположил, что тело излучает энергию в виде излучения не непрерывным образом, а определенными порциями (квантами). Энергия этих квантов кратна некоторому целому числу W_Р=0; ,…Р - целое число.

Количество диполей, которые имеют соответствующую энергию дается соотношением

N₀, N₀e , N₀e ^, … .

Найдем полное число диполей которые излучают свет, т.е.

N=N₀ +N₀ e + … +N₀e^- +……. =N₀(1+q +q²+…) , где q= e

N= (13)

Полная энергия всех диполей находится из простых соотношений

U=0×N₀+ e ⁺ N₀e + … .

Очевидно,что

U=

Взяв производную от (13) получим:

U= (14)

Таким образом идея квантов приводит к тому, что средняя энергия одного асциллятора дается соотношением:

W_осц= (15)

При , W_осц=k_вТ.

Bзлучательная способность абсолютно черного тела дается соотношением:

f(ω, T)= (16)

Формула (16) называется формулой излучения Планка для абсолютно черного тела.

Зная зависимость поглощательную способность тела а _Т и используя (16) можно найти излучательную способность любого тела.

Построим график зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты при различных температурах Т₁ < Т₂.

Рис. 1.12

С использованием формулы (16) несложно установить открытый ранее закон Стефана-Больцмана, то есть

Ф_изл=sT⁴.

Подставим формулу (16) в формулу (1). Тогда получим:

Ф_изл= (17)

где s= 5,67×10^-8 Вт/м²к⁴ – постоянная Стефана-Больцмана.

Выражение (17) выражает закон Стефана-Больцмана. Постоянная Планка 1,09×10^-34 Дж×с.

Из формулы Планка (16) следует закон смещения Вина, позволяющий определить частоту излучения ω_m, который соответствует максимальная энергии излучения абсолютно черного тела. Эта величина находится из очевидного равенства:

.

Взяв производную от функции (16), получим:

.

Из последнего уравнения получаем: b’ – закон смещения Вина.

Однако, в формуле (18) переходят от частот к длинам волн в соответствии с соотношением:

; м×к.

Закон смещения Вина:

. (18)

Длина волны света, на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела выражается формулой(18), в которой b – постоянная смещения Вина.