Оптимизационные модели анализа рисков

Портфель инвестирования (ценных бумаг) может создаваться с целью обеспечения безопасности вложений, роста вложений, обеспечения необходимого уровня ликвидности.

Моделирование позволяет в короткие сроки получить требуемые характеристики будущего портфеля в зависимости от складывающейся конъюнктуры рынка. Особенностью оптимизационных моделей является то, что они описывают случай, когда существуют целочисленные ограничения на объемы приобретаемых финансовых активов.

Пусть инвестор обладает денежными средствами в объеме F на интервале [0; T], которые он может потратить на приобретение n видов ценных бумаг. Ценные бумаги можно приобретать только лотами, количество ценных бумаг в j-ом (i = 1.., n) лоте равно Vi. Исходная стоимость (в момент времени t = 0) единицы ценных бумаг вида i составляет a_i, а будущая стоимость (в момент времени t = T) рассчитывается следующим образом: с вероятностью P_j (j = 1..k) стоимость единицы ценной бумаги составит . Необходимо выбрать такие виды ценных бумаг, чтобы максимизировать прибыль, полученную после продажи всех приобретенных ценных бумаг в момент времени T. Данную задачу можно описать с помощью следующей модели:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Если лот i приобретается, то x_i равно 1, в противном случае x_i = 0.

В качестве целевой функции выбрано выражение из двух слагаемых, первое из которых – выручка от реализации ценных бумаг по цене i, а второе – остаток денежных средств после формирования портфеля ценных бумаг. Учитывая, что постоянная F не оказывает влияния на оптимальное решение, получаем следующую целевую функцию:

(6)

Для решения данной задачи может быть использована следующая схема метода ветвей и границ:

1. Вычисление верхней оценки. Для всех пакетов акций рассчитывается величина .

Пронумеруем все пакеты следующим образом: gi /ai. В первую очередь финансовые ресурсы выделяются для приобретения ценных бумаг первого вида, затем второго и так далее до того момента, пока остатка финансовых средств станет недостаточно для приобретения лота ценных бумаг вида I в объеме VI. В этой ситуации игнорируются целочисленные ограничения на приобретение акций вида I и покупается максимально возможное количество ценных бумаг данного вида. Это количество (VI) рассчитывается по следующей формуле: , где — остаток денежных средств после приобретения первых I – 1 пакетов ценных бумаг . Итоговая верхняя оценка рассчитывается по формуле:

2. Вычисление нижней оценки. Вычисление осуществляется по формуле:

.

После того как вычислены верхняя и нижняя оценки прибыльности, исследуются все возможные варианты формирования портфеля ценных бумаг, вычисляя при этом текущие верхние оценки.

3. Вычисление текущих верхних оценок . Вычисление текущей верхней оценки при анализе очередного варианта портфеля ценных бумаг производится каждый раз после выделения финансовых средств на приобретение очередного пакета. Эта оценка складывается из прибыли, полученной от приобретения ценных бумаг, на которые уже выделены деньги, и прибыли оставшихся ценных бумаг, вычисляемой по правилу получения Z_верх. При этом, если окажется, что , то данный вариант формирования портфеля не рассматривается; в противном случае в портфель включается очередной пакет акций и снова вычисляется . В итоге, либо анализируемый вариант портфеля будет отвергнут, либо в результате будет сформирован портфель, доходность которого больше. В этом случае в качестве нижней оценки принимаем полученное значение прибыли от последнего портфеля ценных бумаг и переходим к анализу нового варианта формирования портфеля. Работа алгоритма заканчивается либо после перебора всех вариантов формирования портфеля, и тогда оптимальным будет тот вариант, которому соответствует последнее значение Z_ниж, либо в случае, когда получен вариант портфеля, прибыль по которому равна Z_верх.

Одной из проблем, возникающих при практическом использовании решения предложенной задачи, является достоверность прогноза стоимости ценных бумаг i (i = 1..., n). Если известна функция распределения случайных величин, задающих возможную прибыль по каждому виду ценных бумаг, то выбирается портфель, максимизирующий математическое ожидание выигрыша, либо минимизирующий риск финансовых потерь (среднее квадратичное отклонение).

Другим подходом использования решения задачи в условиях неточного прогноза является анализ чувствительности решения к изменению величин i.

При этом возможны три варианта:

1. В первом случае считается, что известны минимальные значения gi и необходимо вычислить, насколько могут быть увеличены эти значения, чтобы оптимальное решение задачи сохранилось, т.е. необходимо определить такое ем, чтобы при увеличении всех i на любое решение задачи сохранилось. Пусть множество — множество всех возможных решений задачи и пусть эти значения упорядочены по значению величин . Пусть вектор xI является оптимальным, тогда при увеличении i на e для всех i = 1..., n, в качестве новых решений могут быть только решения . Чтобы определить границу изменения для решения xI, необходимо выяснить из следующего соотношения: . Раскроем скобки и выразим через параметры . Отсюда получаем: . Пусть этот минимум достигается на каком-либо , тогда процедура приращения для решения повторяется. Это происходит до тех пор, пока через конечное число шагов не произойдет переход на решение xn, и тогда дальнейшее увеличение всех значений i не приведет к новому решению.

2. Во втором случае предполагается, что i меняются по правилу . В данной ситуации схема рассуждений сохраняется, только упорядочение решений происходит по величине . Соответственно, формула для вычисления eI, при котором остается оптимальным решение xI, будет иметь следующий вид: .

3. В третьем случае полагаем, что i может принимать все значения из интервала . В данной ситуации аналогично может быть представлена процедура разбиения множества, на котором изменяются значения , на подмножества . При этом, при изменении g на любом из подмножеств Sj (j = 1..., n), оптимальным на этом подмножестве остается решение .

Рассмотрим для задачи (1)—(5) ситуацию, когда , т.е. будущая ожидаемая стоимость i-го актива может принимать любые значения из интервала . Рассмотрим для каждого актива интервалы . В этом случае, вообще говоря, невозможно однозначно упорядочить все активы по степени убывания доходности. Поэтому можно сформировать все допустимые портфели и далее для каждого портфеля можно вычислить соответственно . Здесь N — число допустимых портфелей. — значение целевой функции (1) при минимальном будущем значении стоимости i-го актива; — значение целевой функции (1) при максимально возможном значении будущей стоимости актива i. Далее расположим соответствующие значения целевой функции на оси доходности для различных инвестиционных портфелей.

Выберем портфели, которые могут при определенных значениях будущих стоимостей активов, входящих в них, быть оптимальными. Для этого из множества всех допустимых портфелей N выделим те, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. Определим max , .

2. Определим max .

3. Исключим из множества N все портфели, для которых .

Оставшееся множество портфелей обозначим через N1. Очевидно, что только портфели множества N1 могут быть оптимальными при изменении будущей стоимости активов в интервалах . Значение целевой функции для каждого допустимого портфеля j может быть представлено следующим образом: , где вектор с нулевыми переменными определяет те лоты, которые вошли в портфель j.

Если необходимо определить множество будущих стоимостей активов, при которых будет оптимальным j-ый портфель, то очевидно, что оно задается следующей системой линейных неравенств:

Далее мы рассмотрим представленную выше модель с учетом риска. Для оценки риска воспользуемся показателем из ценовой модели рынка капитала (CAMP). Этот коэффициент вычисляется по следующей формуле: , где — ковариация i-го актива и рыночного портфеля, — среднее квадратичное отклонение портфеля. Для расчета воспользуемся формулой , а рассчитывается следующим образом: , где — ковариация i-го и j-го активов, а — удельная доля ценных бумаг вида i в общем объеме портфеля. Величина определяет влияние рынка на данные ценные бумаги: если , то доходность бумаг j-го вида колеблется в такт с рынком, а если , то поведение бумаги прямо противоположно колебаниям доходности рынка в целом. Данный показатель часто называют премией за риск, на который идет инвестор, приобретая конкретную ценную бумагу.

Итак, общая постановка задачи выглядит следующим образом. Инвестор обладает денежными средствами в объеме F на интервале , которые он может потратить на приобретение n видов ценных бумаг. Ценные бумаги можно приобретать только лотами, количество ценных бумаг в i-ом (i = 1..n) лоте равно Vi. Исходная стоимость (в момент времени t = 0) единицы ценных бумаг вида i составляет , а будущая стоимость (в момент времени t = T) рассчитывается следующим образом: с вероятностью стоимость единицы ценной бумаги составит . Объем ценных бумаг вида i составляет Ri (абсолютный показатель). Необходимо выбрать такие виды ценных бумаг, чтобы максимизировать прибыль, полученную после продажи всех видов приобретенных ценных бумаг в момент времени T, а также чтобы риск портфеля был не выше заданного. Модель, с помощью которой решается данная задача, можно представить так:

В данном случае характеризует риск портфеля в целом, т.е. коэффициент риска данного портфеля не должен превышать заданного нами значения. Кроме того, ограничения на xi говорят о том, что инвестор может приобрести любое количество лотов с учетом ограничений.

Пример

Пусть инвестор располагает свободными денежными средствами в размере 500 000 руб. и хочет вложить их в ценные бумаги. Инвестор хотел бы сформировать портфель из следующих акций:

- Газпром;

- ВТБ;

- Лукойл;

- Роснефть;

- Сбербанк.

Даны начальные стоимости этих ценных бумаг, объемы торговли этих бумаг (табл. 1), а также прогнозы экспертов относительно будущих стоимостей (табл. 2). Необходимо произвести расчеты для двух случаев, когда риск портфеля не выше среднерыночного риска . Цены и прогнозы стоимости даны на 22.04.2010. Акции будут приобретаться на ММВБ, где стандартный объем лота составляет 100 штук.

Таблица 1 – Рыночные цены и объемы выпуска ценных бумаг

Таблица 2 – Прогнозы будущих стоимостей ценных бумаг

Для решения данной задачи нам необходимо рассчитать коэффициенты риска по каждой ценной бумаге. Найденные значения -коэффициентов и математические ожидания будущих стоимостей ценных бумаг ( i) представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Коэффициенты риска и математические ожидания будущих стоимостей ценных бумаг

ЦБ		i
GAZP	0,789	173,394
VTBR	1,514	0,07808
LKOH	1,035	1359,56
ROSN	0,921	240,68
SBER03	1,482	84,64

Ra — доходность актива

Rm — доходность рынка (его индекса)

cov(Ri,Rm) — ковариация доходностей

D — дисперсия рынка (его индекса)

Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:

То есть, ковариация, это математическое ожидание произведения центрированных случайных величин

Таблица 4 – Значения котировок акций и рынка

Сформируем таблицу доходностей акций и рынка

Таблица 5 – Доходности акций и рынка

Определим ковариацию (табл. 6).

Таблица 6 – Расчет ковариации

Дисперсия рынка равна 0,49%, тогда коэффициент бета равен (табл. 3).

Теперь можно составить систему ограничений, для удобства представим данные в табличной форме.

Таблица 7 – Расчеты с условием ограничений

Таблица 8 – Расчет риска и стоимости портфеля