Теорема Гаусса для электростатического

Поля в вакууме

В соответствии с формулой (11.5) поток вектора напряженности сквозь сферичес­кую поверхность радиуса r, охва-тывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис.11.8), равен

.

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.

Обобщая это выражение на систему точечных зарядов Q₁, Q₂, … , Q_n с учетом суперпозиции полей получим:

. (11.11)

Формула (11.11) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Теорема гласит:поток вектора напряженно-сти электростатического поля в вакууме скво-зь произ­вольную замкнутую поверхность ра-вен алгебраической сумме заключенных внут-ри этой поверхности зарядов, деленной на e₀.

Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю немецким ученым К. Гауссом (1777—1855).

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объёмной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S , охватывающей некоторый объём V ,

.

Далее воспользовавшись теоремой Гаусса (11.11) можно записать

.