Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь.

15. Вторая производная, её физический смысл

 

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале . Продифференцировав ее по аргументу х, мы получаем первую производную от функции .

- первая производная от функции или производная первого порядка от функции .

 

Определение: Производная от производной первого порядка от данной функции называется производной второго порядка от этой функции.

Пример: Вычислить вторую производную функции .

Решение:

; .

Упражнения: Найти производную 2-ого порядка для функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

 

Вывод: Вторая производная функции в точке – ускорение изменения функции в этой точке.

 

16. Выпуклость, точки перегиба графика функции

 

Графики функций имеют различное положение по отношению к оси абсцисс Ох. Поэтому вводится понятие выпуклости графика функции.

 

Определение: График функции называется выпуклым вверх на данном отрезке, если все точки графика лежат выше (не ниже) хорды, соединяющей любые две его точки. Рис. 1.

Определение: График функции называется выпуклым вниз на данном отрезке, если все точки графика лежат ниже (не выше) хорды, соединяющей любые две его точки. Рис. 2.

Определение: Точка перехода графика функции от выпуклости вверх к выпуклости вниз и наоборот называется точкой перегиба графика функции. Рис. 3.

 

 

 

 


Для определения выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции существует теорема.

 

Теорема: Если вторая производная функции на отрезке отрицательна, то график функции на этом отрезке выпуклый вверх, а если вторая производная функции на отрезке положительна, то график функции на этом отрезке выпуклый вниз.

 

«Правило дождя» для запоминания теоремы о выпуклости графика функции:

Пример: Найти интервалы выпуклости графика функции .

1. Найдем область определения функции: ;

2. Вычислим первую производную функции: ;

3. Вычислим вторую производную функции:

;

4. Определим значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю: ; ; ; ;

5. Определим знак второй производной в интервалах, на которые область определения разбивается значениями аргумента ; , и характер выпуклости функции в этих интервалах:

х - 1
+ - +
у

Ответ: у – выпуклая вниз;

у – выпуклая вверх.

Определение: Значение аргумента, при котором вторая производная функции равна нулю или не существует, называется критической точкой второго рода.

Теорема: Если непрерывная на отрезке вторая производная функции в точке х0 равна нулю и при переходе аргумента через х0 меняет знак, то х0 – точка перегиба.

Пример: Найти точки перегиба графика функции .

1. Найдем область определения функции : .

2. Вычислим производную функции: .

3. Вычислим вторую производную функции: .

4. Найдем критические точки второго рода функции, то есть значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю:

; ; .

5. Определим знак второй производной слева и справа от критической точки , и характер выпуклости графика функции в полученных интервалах:

х
+ -
у перегиб

6. Определим ординату точки перегиба графика функции:

.

Ответ: у - выпуклая вниз; у - выпуклая вверх;

- точка перегиба графика функии.

План исследования функции на выпуклость и существование точек перегиба

1. Найти область определения функции.

2. Вычислить первую производную функции.

3. Вычислить вторую производную функции.

4. Найти критические точки 2-ого рода функции, приравняв вторую производную функции к нулю и решив полученное уравнение.

5. Определить знак второй производной функции слева и справа от критических точек.

6. Определить характер выпуклости функции в полученных интервалах области определения функции и точки перегиба функции, если они есть.

7. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Упражнения: Исследовать на выпуклость и существование точек перегиба функции:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. . 10. ; 11. ; 12. (кривая Гаусса); 13. .

 

17. Исследование функций и построение их графиков

 

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Найти область определения функции: .

2. Определить четность, нечетность функции:

; - не существует. Область определения не симметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.

3. Определить точки пересечения с осью Оу: ; .

4. Определить нули функции (точки пересечения с осью Ох):

; ; - нуль функции.

5. Определить промежутки знакопостоянства:

; ; ; .

6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:

1) Вычислить первую производную функции:

2) Найти критические точки функции, то есть значения аргумента х, при которых первая производная функции равна нулю:

; ; ; ; .

3) Определить знак первой производной слева и справа от критических точек ; , характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:

х - 2
+ - - +
у - 4
max min

4) Определить экстремальные значения функции:

; .

7. Определить интервалы выпуклости, точки перегиба графика функции:

1) Вычислить вторую производную функции:

2) Найти критические точки 2-ого рода, то есть значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю:

; - уравнение корней не имеет, критических точек нет.

3) Определить знак второй производной в интервалах области определения функции, характер выпуклости графика функции в них:

х
- +
у Ç È

8. Найти дополнительные точки графика функции:

; .

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Найти область определения функции: .

2. Определить четность, нечетность функции:

;

и , следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Определить точки пересечения с осью .

4. Определить нули функции:

- нули функции.

5. Определить промежутки знакопостоянства:

; ;

; ;

6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:

1) Вычислить производную функции:

.

2) Найти критические точки функции:

; ; ; .

3) Определить знак производной слева и справа от критических точек , ; характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:

х
+ - +
у
max min

4) Определить экстремальные значения функции: ; .

7. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

1) Вычислить вторую производную функции:

.

2) Найти критические точки 2-ого рода: ; ; .

3) Определить знак второй производной слева и справа от критической точки, характер выпуклости функции в полученных интервалах, точку перегиба графика функции:

х
- +
у Ç È
перегиб

- точка перегиба графика функции.

8. Найти дополнительные точки графика функции:

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Найти область определения функции: .

2. Определить четность, нечетность функции:

;

и , следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Определить точки пересечения с осью .

4. Определить нули функции:

- нули функции.

5. Определить промежутки знакопостоянства:

; ; ; ;

6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:

1) Вычислить производную функции:

.

2) Найти критические точки функции:

; ; ; .

3) Определить знак производной слева и справа от критических точек , ; характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:

х
+ + -
у 5,4
max

4) Определить максимальное значение функции: .

7. Определить точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:

1) Вычислить вторую производную функции:

.

2) Найти критические точки 2-ого рода:

; ; ; .

3) Определить знак второй производной слева и справа от критических точек, характер выпуклости функции в полученных интервалах, точки перегиба графика функции:

х
- + -
у Ç È 3,2 Ç
перегиб перегиб

8. Найти дополнительные точки графика функции:

;

.

Упражнения: Исследовать функцию и построить ее график:

  1. ;
  2. ;
  1. ;
  2. ;
  1. .

 

18. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции

 

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала.

Пусть функция в точке М0 0 , у0) имеет производную . Проведем к графику функции в точке М0 0 , у0) касательную М0Т с угловым коэффициентом , который равен значению производной функции в точке х0 : .

 

Если значению аргумента х0 (абсциссе точки М0)дать приращение , то соответствующее значение функции у0 (ордината точки М0)получит приращение Δу. При этом ордината касательной получит приращение d у.

Из прямоугольного треугольника ( ):

Определение: Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

.

Пример: Вычислить дифференциал аргумента х: .

Вывод:

1. Дифференциал независимой переменной (аргумента) равен приращению этой переменной: .

2. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной: или .

 

Вывод: Если функция имеет производную в точке х0, то дифференциал функции в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке х0 при переходе от х0 к х0 +Δ х.

Пример: Найти дифференциалы функций:

1) ; ;

2) ; .

Упражнения: Найти дифференциал функции:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  1. ;
  2. ;
  1. ;
  2. .

 








Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 1086;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.076 сек.