Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь.
15. Вторая производная, её физический смысл
Пусть функция 
дифференцируема в некотором интервале 
. Продифференцировав ее по аргументу х, мы получаем первую производную 
от функции .
- первая производная от функции или производная первого порядка от функции .
Определение: Производная от производной первого порядка от данной функции называется производной второго порядка от этой функции.
Пример: Вычислить вторую производную функции 
.
Решение:
; 
.
Упражнения: Найти производную 2-ого порядка для функций:
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
| 4)  ;
| 5)  .
|
Вывод: Вторая производная функции в точке – ускорение изменения функции в этой точке.
16. Выпуклость, точки перегиба графика функции
Графики функций имеют различное положение по отношению к оси абсцисс Ох. Поэтому вводится понятие выпуклости графика функции.
Определение: График функции называется выпуклым вверх на данном отрезке, если все точки графика лежат выше (не ниже) хорды, соединяющей любые две его точки. Рис. 1.
Определение: График функции называется выпуклым вниз на данном отрезке, если все точки графика лежат ниже (не выше) хорды, соединяющей любые две его точки. Рис. 2.
Определение: Точка перехода графика функции от выпуклости вверх к выпуклости вниз и наоборот называется точкой перегиба графика функции. Рис. 3.
Для определения выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции существует теорема.
Теорема: Если вторая производная функции на отрезке 
отрицательна, то график функции на этом отрезке выпуклый вверх, а если вторая производная функции на отрезке положительна, то график функции на этом отрезке выпуклый вниз.
«Правило дождя» для запоминания теоремы о выпуклости графика функции:
Пример: Найти интервалы выпуклости графика функции 
.
1. Найдем область определения функции: 
;
2. Вычислим первую производную функции: 
;
3. Вычислим вторую производную функции:
;
4. Определим значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю: 
; 
; 
; 
;
5. Определим знак второй производной в интервалах, на которые область определения разбивается значениями аргумента 
; 
, и характер выпуклости функции в этих интервалах:
| х | 
| - 1 | 
| 
| |
| + | - | + | ||
| у | 
| 
|
|
Ответ: 
у – выпуклая вниз;
у – выпуклая вверх.
Определение: Значение аргумента, при котором вторая производная функции равна нулю или не существует, называется критической точкой второго рода.
Теорема: Если непрерывная на отрезке 
вторая производная функции в точке х0 равна нулю и при переходе аргумента через х0 меняет знак, то х0 – точка перегиба.
Пример: Найти точки перегиба графика функции 
.
1. Найдем область определения функции : 
.
2. Вычислим производную функции: 
.
3. Вычислим вторую производную функции: 
.
4. Найдем критические точки второго рода функции, то есть значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю:
; 
; 
.
5. Определим знак второй производной слева и справа от критической точки 
, и характер выпуклости графика функции в полученных интервалах:
| х | 
| 
| |
|
| + | - | |
| у |
| перегиб |
|
6. Определим ординату точки перегиба графика функции:
.
Ответ: 
у - выпуклая вниз; 
у - выпуклая вверх;
- точка перегиба графика функии.
План исследования функции на выпуклость и существование точек перегиба
1. Найти область определения функции.
2. Вычислить первую производную функции.
3. Вычислить вторую производную функции.
4. Найти критические точки 2-ого рода функции, приравняв вторую производную функции к нулю и решив полученное уравнение.
5. Определить знак второй производной функции слева и справа от критических точек.
6. Определить характер выпуклости функции в полученных интервалах области определения функции и точки перегиба функции, если они есть.
7. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Упражнения: Исследовать на выпуклость и существование точек перегиба функции:
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
| 6.  ;
7.  ;
8.  ;
9.  .
| 10.  ;
11.  ;
12.  (кривая Гаусса);
13.  .
|
17. Исследование функций и построение их графиков
Пример: Исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Найти область определения функции: 
.
2. Определить четность, нечетность функции:
; 
- не существует. Область определения не симметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.
3. Определить точки пересечения с осью Оу: ; 
.
4. Определить нули функции (точки пересечения с осью Ох):
; 
; - нуль функции.
5. Определить промежутки знакопостоянства:
; 
; 
; 
.
6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:
1) Вычислить первую производную функции:
2) Найти критические точки функции, то есть значения аргумента х, при которых первая производная функции равна нулю:
; 
; 
; 
; 
.
3) Определить знак первой производной слева и справа от критических точек 
; , характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:
| х | 
| - 2 | 
| 
|
| |
| + | - | - | + | ||
| у | ↑ | - 4 | ↓ | ↓ | ↑ | |
| max | min |
4) Определить экстремальные значения функции:
; 
.
7. Определить интервалы выпуклости, точки перегиба графика функции:
1) Вычислить вторую производную функции:
2) Найти критические точки 2-ого рода, то есть значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю:
; 
- уравнение корней не имеет, критических точек нет.
3) Определить знак второй производной в интервалах области определения функции, характер выпуклости графика функции в них:
| х | 
| 
|
|
| - | + |
| у | Ç | È |
8. Найти дополнительные точки графика функции:
; 
.
Пример: Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение:
1. Найти область определения функции: .
2. Определить четность, нечетность функции:
;
и 
, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Определить точки пересечения с осью 
.
4. Определить нули функции:
- нули функции.
5. Определить промежутки знакопостоянства:
; ;
; ;
6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:
1) Вычислить производную функции:
.
2) Найти критические точки функции:
; 
; 
; 
.
3) Определить знак производной слева и справа от критических точек , ; характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:
| х | 
| 
| 
| ||
|
| + | - | + | ||
| у | ↑ | ↓ | ↑ | ||
| max | min |
4) Определить экстремальные значения функции: 
; 
.
7. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:
1) Вычислить вторую производную функции:
.
2) Найти критические точки 2-ого рода: ; 
; 
.
3) Определить знак второй производной слева и справа от критической точки, характер выпуклости функции в полученных интервалах, точку перегиба графика функции:
| х | 
|  
| |
|
| - | + | |
| у | Ç | È | |
| перегиб |
- точка перегиба графика функции.
8. Найти дополнительные точки графика функции:
Пример: Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение:
1. Найти область определения функции: .
2. Определить четность, нечетность функции:
;
и , следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Определить точки пересечения с осью 
.
4. Определить нули функции:
- нули функции.
5. Определить промежутки знакопостоянства:
; ; 
; ;
6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:
1) Вычислить производную функции:
.
2) Найти критические точки функции:
; 
; ; 
.
3) Определить знак производной слева и справа от критических точек , ; характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:
| х |
| 
| 
| ||
|
| + | + | - | ||
| у | ↑ | ↑ | 5,4 | ↓ | |
| max |
4) Определить максимальное значение функции: 
.
7. Определить точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:
1) Вычислить вторую производную функции:
.
2) Найти критические точки 2-ого рода:
; 
; ; 
.
3) Определить знак второй производной слева и справа от критических точек, характер выпуклости функции в полученных интервалах, точки перегиба графика функции:
| х | 
|
| 
| ||
|
| - | + | - | ||
| у | Ç | È | 3,2 | Ç | |
| перегиб | перегиб |
8. Найти дополнительные точки графика функции:
;
.
Упражнения: Исследовать функцию и построить ее график:
|
|
|
;
;
;
;
.
18. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции
С понятием производной тесно связано понятие дифференциала.
Пусть функция 
в точке М0 (х0 , у0) имеет производную 
. Проведем к графику функции в точке М0 (х0 , у0) касательную М0Т с угловым коэффициентом 
, который равен значению производной функции в точке х0 : 
.
Если значению аргумента х0 (абсциссе точки М0)дать приращение 
, то соответствующее значение функции у0 (ордината точки М0)получит приращение Δу. При этом ордината касательной получит приращение d у.
Из прямоугольного треугольника 
( 
):
Определение: Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента:
.
Пример: Вычислить дифференциал аргумента х: 
.
Вывод:
1. Дифференциал независимой переменной (аргумента) равен приращению этой переменной: 
.
2. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной: 
или 
.
Вывод: Если функция имеет производную в точке х0, то дифференциал функции dу в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке х0 при переходе от х0 к х0 +Δ х.
Пример: Найти дифференциалы функций:
1) 
; 
;
2) 
; 
.
Упражнения: Найти дифференциал функции:
|
|
|
;
;
;
;
;
;
.
Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 1100;