Приклади задач математичної фізики, що приводять до використання спеціальних функцій.

Функції Беселя.

Розв’язати задачу стаціонарної теплопровідності усередині обмеженого циліндру , якщо

Розв’язання задачі.

Розшукуємо розв’язок поставленої задачі у вигляді

Підставимо це зображення до рівняння

Розподіляючи змінні, обираємо для рівняння

З граничною умовою

Для функції отримаємо рівняння

Далі будемо вважати, що має місце подання

З цього випливає

де - стала розподілення.

Для функції маємо рівняння Беселя

з граничною умовою

Та природною умовою обмеженості у нулі

Звідці випливає

Гранична умова при дає

де

Нехай корні цього рівняння.

Таким чином, крайова задача для має власні значення , якім відповідають власні функції

що утворюють дві ортогональні системи функції, для яких

,

Загальний розв’язок задачі має вигляд

де розв’язок рівняння

Шукану функцію можна зобразити у вигляді суми двох функцій

де - гармонічні функції, що задовольняють умовам

Покажемо як побудувати функцію . Для цього випадку

Задовольнимо крайову умову при

(*)

Отже, наприкінці запишемо розв’язок вихідної задачі у вигляді

де - коефіцієнти розкладу функції та вигляду (*).

Поліноми Лежандра.

Розв’язати задачу про коливання струни довжиною , яка закріплена одним кінцем на нерухомій опорі та може вільно обертатися навколо точки опори.

- кутова швидкість.

Розшукуватиме розв’язок у вигляді

Відповідно до схеми методу розподілення змінних

Підставляючи в (25), маємо:

Позначаючи обидві частини цієї рівності через , одержимо два рівняння

(29)

Вважаючи , перетворимо рівняння (30) до вигляду

(31)

Це є рівняння Лежандра.

По своєму фізичному значенню зсув струни повинно залишатися обмеженим в проміжку . Тому потрібно знайти такі рішення рівняння (30), які обмежені в цьому проміжку, включаючи його кінці. На початку цього розділу було показано, що при , де - ціле позитивне число, рівняння Лежандра (31) в проміжку [-1, 1] має рішення, обмежене в точках . Це рішення є поліном Лежандра . Отже, повертаючись до змінної , ми можемо стверджувати, що

(32)

є рішення рівняння (30), обмежене в точках при .

Задовольняючи граничній умові (26), одержимо

Це можливо, коли , де - ціле додатне число.

Таким чином, нетривіальні рішення рівняння (30) при граничних умовах

– ограничено (33)

можливі лише при значеннях

(34)

Цим власним числам відповідають власні функції

(35)

які утворюють ортогональну систему функцій на відрізку .

При загальне рішення рівняння (29) має вигляд

(36)

В силу (28), одержимо, що функції (37)

задовольняють рівнянню (25) і граничній умові (26) при будь-яких і . Для рішення задачі складаємо ряд

(38)

і вимагаємо, щоб виконувалися початкові умови (27):

(39)

(40)

Припускаючи, що ряд (39) сходиться рівномірно, ми можемо визначити коефіцієнти , помноживши обидві частини рівності (39) на і проінтегрувати по х в інтервалі від 0 до ; тоді беручи до уваги ортогональність власних функцій, одержимо

Звідси

(41)

Аналогічно знайдемо

(42)

Таким чином, рішення задачі дається поряд (38), де і визначаються формулами (41) і (42).

Переписавши рішення (38) у вигляді

(43)

ми бачимо, що малі коливання струни, що обертається, складаються з гармонійних коливань. Частота коливань -го обертону виражається формулою

Звідси витікає, що частоти коливань залежать від кутової швидкості і не залежать від довжини струни і її густини (до тих пір, поки густина постійна). При збільшенні довжини або густини збільшується маса струни, яка прагне знизити частоту; при цьому також збільшується натягнення, що повинне викликати підвищення частоти. Ці два чинники компенсують один одного.