Матричная форма записи уравнений установившегося режима
Уравнения установившегося режима в форме баланса токов:
, (1)
где - напряжение в рассматриваемом i – м узле и напряжения в смежных узлах j . Это неизвестные величины;
yij – взаимная проводимость узлов
;
yij – собственная проводимость i – го узла
(2)
уі0
- поперечная проводимость участков подходящих к i – у узлу:
(3)
Поперечные проводимости транс- Поперечная проводимость
формирующих участков линии
yi0 – собственная проводимость устройств, подключенных непосредст-венно в i – м узле;
- заданные мощность или ток.
Уравнение (1) сформировано на основе метода узловых потенциалов, за-писано для одного і – го узла сети. Для схемы, состоящий из n узлов записы-вается n таких уравнений с n комплексными неизвестными.
Запишем систему уравнений вида (1) для абстрактной схемы электрической сети, состоящей из n узлов:
(4)
Эта система уравнений описывает режим роботы ЭС в целом. Запишем эту систему в матричной форме:
(5)
С учетом обозначений система (5) примет вид:
. (6)
Здесь Y – матрица коэффициентов при неизвестных – матрица собственных
и взаимных проводимостей (матрица проводимостей);
- вектор неизвестных – вектор напряжений;
D – диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены
величины, обратные сопряженному комплексу напряжений в узлах.
Остальные элементы матрицы - нули;
- вектор сопряженных комплексов заданных мощностей в узлах;
- вектор заданных токов в узлах.
Матрица собственных и взаимных проводимостей Y
Ее элементами являются проводимости узлов и участков. На главной диа-гонали расположены собственные проводимости узлов, определяемые по фор-муле (2). Вне главной диагонали - взаимные проводимости узлов, взятые с об-ратным знаком. Матрица квадратная, симметричная.
Если узлы сети соединены между собой, то их взаимная проводимость отлична от нуля ( Yij = 1/Zij). Если узлы между собой не связаны, то Yij = 0.
Т.к. реальные сети имеют большое количество узлов, а каждый узел имеет не-большое число связей с другими узлами (до 10), то строки матрицы и матрица в целом содержат большое количество нулевых элементов (матрица слабоза-полненная или разреженная).
Каждая строка матрицы соответствует одному узлу сети и его связям.
По структуре матрицы проводимостей можно определить схему сети и ее параметры. То есть матрица проводимостей представляет собой модель схемы электрической сети.
Пример: Дана матрица проводимостей. По её структуре определим схему
сети:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
1 | x | x | x | ||
2 | x | x | |||
3 | x | x | |||
4 | x | x | x | x | |
5 | x | x |
|
Уравнения (5) и (6) представляют собой математическую модель режи-ма работы ЭС в общем виде.
Лекция 9
Свойства матрицы проводимости:
1. При отсутствии в сети трансформаторов с комплексными коэффициен-тами трансформации, матрица является симметричной, то есть выполняется принцип взаимности Yij = Yji ;
2. Матрица является слабозаполненной, так как содержит большое коли-чество нулевых элементов. Причина - если узлы не связаны между собой, то их взаимная проводимость равна нулю (yij = 0), а в реальных сетях каждый узел связан с небольшим числом узлов;
Свойства 1 и 2 используются для компактного хранения матрицы проводимостей в памяти ЭВМ (хранятся только ненулевые элементы и их координаты). Количество собственных проводимостей равно количеству узлов в сети, количество взаимных проводимостей равно числу ветвей ( с учетом симметричности матрицы).
3. Матрица проводимостей неособенная, то есть её определитель , следовательно она имеет обратную матрицу.
Пример: Составить матрицу проводимостей для схемы
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
1 | y11 | -y12 | -y14 | -y17 | ||||
2 | -y21 | y22 | -y23 | |||||
3 | -y32 | y33 | -y35 | |||||
4 | -y41 | y44 | -y45 | |||||
5 | -y53 | -y54 | y55 | -y56 | -y58 | |||
6 | -y65 | y66 | -y68 | |||||
7 | -y71 | y77 | -y78 | |||||
8 | -y85 | -y86 | -y87 | y88 |
Собственные проводимости узлов схемы:
В памяти ЭВМ запоминается верхняя половина матрицы (её ненулевые элементы).
Система уравнений (4) – это система уравнений узловых напряжений в форме баланса токов, записана для всех узлов сети и содержит n уравнений относительно n неизвестных напряжений в узлах. В таком виде она не может дать искомое решение для всех комплексных напряжений, так как:
1. Если является решением ( i= 1 … n ) системы уравнений, то тоже является решением, так как это соответствует пово-роту всех векторов напряжения на угол . Множитель входит во все решения и может быть сокращен. Задавая разные значения можем получить множество решений системы уравнений;
2. Если в узлах не задать (не зафиксировать) ни од-ного напряжения, то можно получить решение, не имею-щее практического смысла (например, отрицательные напряжения в узлах, либо напряжения не соответствую-щие своему классу напряжений и т. д.). При этом баланс токов в узлах будет соблюдаться.
Решение этой проблемы: в сети выбирают один (или несколько) узлов, в которых фиксируют модуль и угол напряжения. Это узлы с фиксацией векто-ра напряжения (ФВ). Такие узлы называются базисными или опорными по напряжению = const. В сети должен быть хотя бы один такой узел. Во всех остальных узлах схемы напряжения рассчитывается относи-тельно опорного. В схеме им соответствуют, как правило шины электростан-ций или мощных подстанций. Как правило опорный узел по напряжению сов-падает с балансирующим по мощности. Для упрощения расчетов часто задают .
Задание в некоторых узлах сети векторов напряжения, т.е. выделение в схеме сети опорных узлов с ФВ (которые совпадают с балансирующими) приводит к уменьшению числа неизвестных в системе уравнений (4) и необхо-димости исключения из неё уравнений, соответствующих этим узлам (т.к. уменьшается число неизвестных напряжений).
Пример:
Запишем для схемы систему уравнений вида (4):
Система уравнений в матричной форме:
В качестве спорного узла выберем узел 4. Напряжение в нём задано. Нужно исключить из системы уравнение, соответствующее опорному узлу – уравнение 4. Это соответствует четвёртой строке в матрице и в вектор – столб-це. В матрице выделим столбец и строку, соответствующие опорному узлу – номер 4 – они содержат его взаимные проводимости с другими узлами схемы.
В матрице и векторах выделяются блоки и субвектора:
YiОП – вектор – столбец взаимных проводимостей между узлами сети и опорным узлом;
YОПj – вектор – строка взаимных проводимостей между опорным узлом и другими узлами сети;
Y – неполная матрица проводимостей, получаемая из полной удалением строк и столбцов соответствующих опорным узлам;
YОПОП – собственная проводимость опорного узла;
- заданные напряжения в опорных узлах и токи в них;
- вектор искомых напряжений в узлах сети;
- вектор заданных токов в узлах сети.
С учётом этого в блочной форме система уравнений может быть записана:
.
Удаляем элементы (блоки), соответствующие уравнениям опорных узлов - YОПj, YОПОП, IОП. Тогда по правилам умножения блочных матриц получаем:
.
Переносим известные величины в правую часть:
.
Это система уравнений установившегося режима в матричной форме.
Это уравнения в виде баланса токов. Линейные уравнения.
В результате преобразований можно получить другой вид этой системы урав-нений:
.
При задании в узлах сети нелинейных источников тока (генераторы или нагрузки с постоянной мощностью), установившийся режим описывается нели-нейными уравнениями:
Эти уравнения – нелинейные уравнения установившегося режима в форме баланса тока. При задании в узлах нелинейных источников тока установив-шийся режим сети можно описать, также, нелинейными уравнениями в форме баланса мощности.
В результате преобразований уравнения баланса мощности в матричной форме будут иметь вид:
|
Здесь - диагональная матрица, на главной диагонали которой рас-
положены сопряженные комплексы напряжений;
S - заданные мощности в узлах.
Лекция 10
Пример1:
В качестве опорного узла выбираем узел 1, т.е. напряжение задано. Нужно опреде-лить . Запишем систему уравне-ний форме:
Составляем уравнения установившегося режима для всех узлов сети:
Первое уравнение исключаем, переносим элементы, содержащие заданное напряжение U1 опорного узла в правую часть:
Получаем систему из трёх линейных уравнений относительно 3-х неиз-вестных напряжений . В её правой части – известные величины.
В матричной форме она имеет вид:
Пример 2:
Составить систему линейных уравнений в форме баланса токов для задан-ной схемы.
Записать матрицу проводимостей, вектор неизвестных и вектор свободных
членов.
Неизвестны – напряжения
Ui = ? , i = 2…7.
| y22 0 0 0 0 0 | U2 I2 + y21U1
| 0 y33 -y34 0 -y36 0 | U3 I3 + y31U1
| 0 -y43 y44 -y45 0 0 | U4 I4
Y = | 0 0 -y54 y55 0 0 | ; U = U5 ; I = I5 .
| 0 -y63 0 0 y66 -y67 | U6 I6
| 0 0 0 0 -y76 y77 | U7 I7
Пример 3:
Составить систему уравнений в форме баланса мощностей.
Сначала составим полную систему уравнений в форме баланса токов. Представим токи в узлах в виде:
Умножим обе части каждого уравнения на сопряженный комплекс соот-ветствующего напряжения Ui:
Получили систему нелинейных уравнений в форме баланса мощности. Неизвестными в ней является напряжения в узлах.
Дата добавления: 2016-05-16; просмотров: 817;