Оптическое свойство эллипса

Теорема: Касательная к эллипсу в произвольной его точке является биссектрисой внешнего угла треугольника , имеющего своими вершинами фокусы и эллипса и данную точку .

Доказательство. Рассмотрим уравнение касательной к эллипсу в данной на нем точке :

Отношение расстояний и от фокусов и эллипса до касательной в точке равно отношению модулей результатов подстановки координат фокусов и в левую часть уравнения касательной.

Отметим, что результаты подстановок – и координат фокусов и в левую часть уравнения касательной – числа одного знака:

;

поэтому оба фокуса и расположены по одну сторону от касательной к эллипсу в произвольной его точке.

Обозначить через и основания перпендикуляров, опущенных из фокусов эллипса на касательную к нему, проведенную в точке (рис.).

Тогда , так как они прямоугольные и по доказанному

,

поэтому , следовательно, угол равен углу , где точка лежит на продолжении отрезка за точку .

Из этой теоремы непосредственно вытекает способ построения касательной к эллипсу в произвольной его точке.

Доказанной теореме можно дать следующую физическую интерпретацию: если поместить в один из фокусов эллипса источник света, то лучи после отражения их от эллипса соберутся в другом фокусе, так как световой луч отражается от эллипса, как от касательной, проведенной к эллипсу, в точке падения луча (см. рис.). Слово фокус по латыни означает «очаг».

 

 

Дома. Параграф 18 по Клетенику. №444-№454

 








Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 714;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.