Исследование цепи однофазного синусоидального тока при параллельном соединении резистора, катушки индуктивности и батареи конденсаторов

· Общие сведения

На рис. 3.29 изображена принципиальная схема цепи синусоидального тока с параллельным соединением резистора R, катушки индуктивности (R_K, L_K) и батареи конденсаторов переменной емкости С. На рис. 3.30 представлена схема замещения этих электроприемников в виде активного сопротивления R, реальной катушки индуктивности с активным сопротивлением провода R_К и индуктивного сопротивления X_L и емкостного сопротивления X_C конденсатора С.

Рис. 3.29. Принципиальная схема для исследования цепи синусоидального тока
с параллельным соединением электроприемников

 

Рис. 3.30. Схема замещения цепи синусоидального тока с параллельным соединением
активного сопротивления R, реальной катушки индуктивности с R_К и X_L
и емкостного сопротивления X_C

Если пренебречь активным сопротивлением R_K провода катушки индуктивности, так как R_K = 5 Ом << X_L [1..2], то получим упрощенную схему замещения цепи синусоидального тока с параллельно соединенными R,L,C –элементами (рис. 3.31). С помощью этой схемы можно рассмотреть основные закономерности исследуемой цепи.

Рис. 3.31. Упрощенная схема замещения цепи синусоидального тока
с параллельным соединением R,L,C-элементов

Согласно закону Ома действующие значения токов в параллельных ветвях схемы замещения с активным R, индуктивным X_L и емкостным X_C сопротивлениями равны, соответственно [1,2]:

I_R = U/R = GU; I_L = U/X_L = B_LU; I_C = U/X_C = B_CU, (3.42)

где G = 1/R – активная проводимость цепи, измеряется в сименсах, См = 1/Ом; B_L = 1/X_L – реактивная индуктивная проводимость цепи; В_С = 1/Х_С – реактивная емкостная проводимость цепи; U – действующее значение напряжения питания цепи, одинаковое для всех параллельных ветвей:

U = U_R = U_L = U_C. (3.43)

Действующее значение полного тока в неразветвленной части цепи равно:

I = U/Z = YU, (3.44)

где Y = 1/Z – полная проводимость цепи синусоидального тока.

По первому закону Кирхгофа для данной цепи (рис. 3.31) потребляемый ток равен сумме токов в ветвях в комплексной или векторной форме [1,2]:

. (3.45)

Построение векторных диаграмм

Векторная диаграмма напряжения и токов цепи синусоидального тока с параллельным соединением R,L,C-элементов строится в соответствии с первым законом Кирхгофа (3.45). За базовый (опорный) вектор, по правилам построения векторных диаграмм (см. разд. 1.4), следует принять вектор напряжения , отложив его горизонтально вправо (рис. 3.32), так как при параллельном соединении ветвей напряжение на всех элементах цепи одинаково и равно напряжению питания U.

Вектор тока ветви, содержащей резистивный элемент R, совпадает по фазе с вектором напряжения , так как сопротивление этой ветви активное, не вызывающее сдвига фаз между напряжением и током.

а) б)

Рис. 3.32. Векторные диаграммы напряжения и токов в цепи

с параллельным соединением R,L,C –элементов

а) – векторная диаграмма при I_L < I_C (активно-емкостная нагрузка);

б) – векторная диаграмма при I_L > I_C (активно-индуктивная нагрузка)

Вектор тока ветви, содержащий индуктивный элемент L, отстает от вектора напряжения на угол сдвига фаз p/2 (направлен вертикально вниз), так как сопротивление второй ветви с X_L – индуктивное. Вектор тока в ветви, содержащей емкостной элемент X_C, опережает вектор напряжения на угол сдвига фаз -p/2 (направлен вертикально вверх), так как сопротивление третьей ветви – емкостное.

Вектор полного комплексного тока в неразветвленной части цепи синусоидального тока находят путем геометрического сложения токов всех ветвей на комплексной плоскости по (3.45). Вектор комплексного тока опережает вектор напряжения на угол j, когда емкостной ток по величине больше индуктивного тока (см. рис. 3.32,а). Эта векторная диаграмма соответствует случаю активно-емкостной нагрузки. Когда емкостной ток меньше индуктивного тока (рис. 4.32,б), то вектор тока отстает от напряжения на угол j (активно-индуктивный характер нагрузки).

На рис. 3.33 построен треугольник токов, имеющий вид прямоугольного треугольника и соответствующий векторной диаграмме, представленной на рис. 3.32,а (когда I_L < I_C).

 

Катеты треугольника токов равны активной I_a = I_R и реактивной I_P составляющим тока, а гипотенуза – полному току I.

Вектор активной составляющей тока , равный вектору тока совпадает по фазе с напряжением (направлен горизонтально вправо). Вектор реактивной составляющей тока , сдвинут по фазе, относительно напряжения на угол p/2. Причем, если I_L > I_C , то отстает по фазе от напряжения на p/2 (направлен вертикально вниз), если же I_L < I_C , то опережает напряжение на угол p/2, как показано (направлен вертикально вверх).

Вектор полного тока равен геометрической сумме векторов и и повернут относительно вектора напряжения на фазовый угол φ.

Из треугольника токов (рис. 3.33) можно получить ряд соотношений между токами. Модуль вектора активной составляющей тока :

I_a = I_R = Icosj. (3.46)

Модуль вектора реактивной составляющей тока :

I_P =½I_L –.I_C½ = Isinj. (3.47)

Модуль вектора полного тока в неразветвленной части цепи:

. (3.48)

Угол сдвига фаз между вектором напряжения и вектором тока :

. (3.49)

Подставляя в (3.48) значения модулей токов из (3.42) и (3.44), получим формулу полной проводимости цепи синусоидального тока при параллельном соединении R,L,C –элементов:

(3.50)

Действующее значение полного тока цепи в соответствии с (3.44) и (3.50):

. (3.51)

Разделив каждую из сторон треугольника токов на действующее значение напряжения U, получим скалярный треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов (рис. 3.34), где активная G и реактивная
B =½B_L – B_C½проводимости цепи изображаются катетами, а полная проводимость Y – гипотенузой прямоугольного треугольника.

Учитывая соотношения для треугольника сопротивлений

cosj = R/Z; sinj = X/Z, (3.52)

из треугольника проводимостей 3.34 можно получить следующие формулы для проводимостей цепи синусоидального тока с параллельно соединенными R,L,C-элементами.

Активная проводимость цепи:

G = Ycosj = cosj/Z = R/(Z)², (3.53)

реактивная проводимость цепи:

B =½B_L – B_C½= Ysinj = X/(Z²), (3.54)

аргумент проводимости, равный углу сдвига фаз между напряжением и током:

j = arctg(B_L – B_c)/G. (3.55)

Активная мощность цепи синусоидального тока при параллельном соединении элементов равна арифметической сумме активных мощностей всех ветвей:

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = UIcosj = UI_a = RI_a² = GU². (3.56)

Реактивная мощность цепи равна модулю алгебраической суммы реактивных мощностей всех ветвей:

Q =½Q₁ + Q₂ + Q₃½ = UIsinj = UI_P = XI_P² = BU², (3.57)

причем реактивную мощность ветви с индуктивностью берут со знаком плюс
Q_L = B_LU², а ветви с емкостью – со знаком минус Q_C = -B_CU².

Для цепи рис. 4.31 величина реактивной мощности равна:

Q = ½Q_L – Q_C½. (3.58)

Полная мощность цепи синусоидального тока с параллельным соединением R,L,C-элементов равна:

S = UI = YU² = . (3.59)

Расчет цепи синусоидального тока с параллельным соединением
электроприемников комплексным методом

Запишем сопротивления, проводимости и токи в ветвях цепи синусоидального тока с параллельно соединенными R,L,C-элементами, представленной упрощенной схемой замещения (рис. 3.31) в комплексной форме (см. разд. 1.3).

Комплексное сопротивление цепи или участка цепи обычно обозначают буквой Zс чертой внизу, а комплексную проводимость – буквой Y , также с чертой внизу. Это делается для того, чтобы отличить комплексные числа, как двухмерные величины, от действительных чисел (модулей комплексов), как одномерных величин. По той же причине комплексы синусоидальных токов и напряжений отмечаются точками вверху над буквенными обозначениями этих величин.

Комплексное сопротивление Z_R и комплексная проводимость Y_R ветви цепи (рис. 3.31), содержащей резистивный элемент R, соответственно равны:

Z_R = R; Y_R = 1/Z_R = 1/R = G, (3.60)

т.е. комплексное сопротивление Z_R ветви с резистивным элементом равно активному сопротивлению R, а комплексная проводимость Y_R – активной проводимости G.

Комплексное сопротивление Z_L и комплексная проводимость Y_L ветви с индуктивным элементом определяется по формулам:

Z_L = jX_L = jwL, (3.61)

Y_L = 1/Z_L = 1/(jX_L) = -jB_L, (3.62)

где j = – мнимая единица.*

Из формул (3.61) и (3.62) следует, что комплексное сопротивление ветви с индуктивным элементом является положительной мнимой величиной, модуль которой равен индуктивному сопротивлению |Z_L| = X_L = wL, а комплексная проводимость Y_L является отрицательной мнимой величиной, модуль которой равен индуктивной проводимости |Y_L| = B_L = 1/X_L.

Комплексное сопротивление Z_C и комплексная проводимость ветви, содержащей емкостной элемент (рис. 3.31), могут быть определены по формулам:

Z_C = -jX_C = -j/(wC), (3.63)

Y_C = 1/Z_C = 1/(-jX_C) = jB_C. (3.64)

Из этих формул следует, что комплексное сопротивление Z_C ветви с емкостным элементом является отрицательной мнимой величиной, модуль которой равен емкостному сопротивлению |Z_C| = X_C = 1/(wC), а комплексная проводимость Y_C является положительной величиной, модуль которой равен емкостной проводимости |Y_C| = B_C = 1/X_C = wC.

По первому закону Кирхгофа комплексный ток в неразветвленной части цепи (рис. 3.31) равен сумме комплексных токов в ветвях с резистивным, индуктивным и емкостным элементами:

(3.65)

Здесь

Y = Y_R + Y_L + Y_C (3.66)

– комплексная проводимость цепи, равная сумме комплексных проводимостей отдельных ветвей.

Так как Y_R = G, Y_L = -jB_L, Y_C = jB_C, то комплексная проводимость цепи синусоидального тока с параллельным соединением ветвей с резистивным, индуктивным и емкостным элементами будет равна:

Y = G - jB_L + jB_C = G – j|B_L-B_C| = G - jB, (3.67)

где B = ½B_L - B_C½ – реактивная проводимость цепи, равная модулю разности индуктивной и емкостной проводимостей.

Обратной величиной комплексной проводимости является комплексное сопротивление, которое равно:

Z= 1/Y = Z . (3.68)

В показательной форме комплексная проводимость цепи запишется в виде:

Y = 1/Z= 1/(Z ) = Y , (3.69)

а в тригонометрической форме:

Y = Ycosj - jYsinj, (3.70)

где

Y =½Y½ = (3.71)

– модуль комплексной проводимости или величина полной проводимости.

Аргумент комплексной проводимости цепи, определяемый углом сдвига фаз между векторами напряжения и тока j = y_u – y_i, равен:

j = arctg(B_L-B_C)/G. (3.72)

В общем случаекаждаяветвь разветвленной цепи может состоять из последовательно соединенныхмежду собой резистивного R, индуктивного L и емкостного С элементов. Комплексная проводимость любой ветви может быть определена как величина, обратная комплексному сопротивлению этой ветви:

Y = / = 1/Z.

Так как комплексное сопротивление ветви Z = R + jX, то комплексная проводимость этой ветви:

. (3.73)

Таким образом, комплексная проводимость любой ветви в общем случае состоит из действительной и мнимой частей. Действительная часть комплексной проводимости является активной проводимостью и рассчитывается по формуле:

. (3.74)

Мнимая часть комплексной проводимости ветви является реактивной проводимостью:

. (3.75)

Из формул (3.73) и (3.74) видно, что активная и реактивная проводимости зависят как от активного R, так и от общего реактивного Х сопротивлений ветви.

Так как общее реактивное сопротивление ветви X=½X_L - X_C½, то общая реактивная проводимость

Комплексная мощность S цепи синусоидального тока с параллельным соединением R,L,C –элементов равна произведению комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток:

, (3.80)

где – сопряженный комплексный ток, отличающийся от комплексного тока знаком аргумента ( =I ).

Аналогично формуле (3.65)

,

поэтому

S = = ( ) = GU² + jB_LU² - jB_CU² =

= Y^*U² = P + j(Q_L-Q_C) = P + jQ. (3.81)

Таким образом, вещественная составляющая комплексной мощности S является активной мощностью Р, а мнимая составляющая – реактивной мощностью Q цепи.

На рис. 3.30 во вторую ветвь включена реальная катушка индуктивности, обладающая активным R_K и индуктивным X_L сопротивлениями. Для ветви цепи, состоящей из последовательно включенных активного и индуктивного сопротивлений, комплексная проводимость будет равна:

Y = / = 1/Z=

= . (3.82)

Для ветви цепи, состоящей из последовательно соединенных активного и емкостного сопротивлений комплексная проводимость:

Y = / = 1/Z=

= , (3.83)

где G и B_C – соответственно активная и емкостная проводимости.

Из треугольника токов, (аналогичного треугольнику на рис. 3.33) можно получить выражения для активной I_КА и реактивной I_КР составляющих тока, а также полного тока I_К в ветви схемы замещения (рис. 3.30) с катушкой индуктивности, учитывающей активное сопротивление R_K этой катушки:

I_КА = I_Кcosj_К;

I_КР = I_Кsinj_К ; (3.84)

I_К = U/Z_К = .

Здесь cosj_К = R_K/Z_K – коэффициент мощности для катушки индуктивности.

Так как активная составляющая тока в катушке I_КА совпадает по фазе с током I_R в ветви, содержащей один резистор (рис. 3.30), то активная составляющая полного тока для данной цепи равна:

I_A = I_КА + I_R, (3.85)

Реактивная составляющая I_P полного тока I может быть определена из треугольника токов:

I_P = . (3.86)

Коэффициент мощности всей цепи изображенной на рис. 3.30 может быть определен обычным образом через составляющие мощностей или полного тока:

cosj = Р/S = I_A/I. (3.87)

На рис. 3.35,а представлена векторная диаграмма токов и напряжения при параллельном соединения двух ветвей – резистора и реальной катушки индуктивности (с учетом ее активного сопротивления R_К), а на рис. 3.35,б – векторная диаграмма цепи с параллельным включением всех трех электроприемников, включая конденсатор (см. схему замещения на рис. 3.30).

а) б)

Рис. 3.35. Векторные диаграммы токов и напряжения при параллельном включении
электроприемников с учетом активного сопротивления катушки индуктивности

а) – параллельное включение резистора и катушки индуктивности;

б) – параллельное включение резистора, катушки индуктивности и батареи конденсаторов

Из сравнения векторных диаграмм на рис. 3.35,а и рис. 3.35,б видно, что при включении в цепь конденсатора ток уменьшает реактивную составляющую тока катушки , тем самым, уменьшая угол j сдвига фаз между полным током и напряжением, и снижая величину полного тока I. При этом коэффициент мощности цепи cosφ увеличивается. Следует отметить, что при параллельном включении конденсатора активные составляющие всех токов не меняются.

Содержание работы

Лабораторная работа делится на четыре части:

1. Подготовительная часть.

2. Измерительная часть (проведение опытов и снятие показаний приборов).

3. Расчетная часть (определение расчетных величин по формулам).

4. Оформительская часть (построение векторных диаграмм).

Примечание

Электромонтажные работы по исследованию цепи с параллельным соединением R,L,C-элементов на модернизированном лабораторном стенде не проводятся, в отличие от работ на старых стендах (см. в [2] – Работа 3а, п.2. Электромонтажная часть).

1.Подготовительная часть

Подготовка к проведению лабораторной работы включает:

1. Изучение теоретической части настоящего пособия и литературы [1,2,3,4], относящихся к теме данной работы.

2. Предварительное оформление лабораторной работы в соответствии с существующими требованиями [2,3].

В результате предварительного оформления лабораторной работы №3а в рабочей тетради или журнале студентом должен быть заполнен титульный лист, в работе должны быть указаны название работы и ее цель, приведены основные сведения по работе, взятые из раздела выше и формулы, необходимые для вычисления расчетных величин, представлены принципиальные и эквивалентные схемы замещения, заготовлены таблицы, соответственно числу опытов в работе.

Кроме этого, должно быть оставлено свободное место для построения векторных диаграмм.

Необходимые измерения параметров исследуемой цепи однофазного тока с параллельным соединением электроприемников проводятся с помощью принципиальной схемы рис. 3.29. Данная схема соответствует панели модернизированног стенда ЭВ-4 [4] с аналогичной мнемосхемой и цифровыми (рис. 3.36)

2. Измерительная часть

1. Перед подачей питания к исследуемой цепи на панели стенда с мнемосхемой и цифровыми измерительными приборами (рис. 3.36) перевести все выключатели (S₁ ÷ S₅, S'₁, S'₂), в нижнее положение (состояние – «откл»).

2. Подключить лабораторный автотрансформатор (ЛАТР), установленный на горизонтальной панели блока питания (рис. 3.37) к сетевому напряжению (~220 В), нажав черные кнопки «вкл» выключателей. При этом загораются две сигнальные лампы «сеть». После этого нужнообязательноповернуть ручку регулятора ЛАТРАа против часовой стрелки до упора, тем самым, снизив напряжение на его выходе до нуля.

3. Подать регулируемое напряжение от ЛАТРа ко входу исследуемой цепи и подключить цифровые измерительные приборы, установив на панели стенда с мнемосхемой (рис. 3.36) кнопки выключателей (S₁, S'₁) в верхнее положение «вкл».

Рис. 3.36. Паналь стенда с цифровыми измерительными приборами и
мнемосхемой для лабораторой работы 3а «Однофазная цепь
с параллельно соединенными электроприемниками.

4. Плавным поворотом по часовой стрелке ручки регулятора ЛАТРа (рис. 3.37) установить напряжение U на входе цепи порядка 80 ÷ 100 В, контролируя его цифровым вольтметром V (прибор ЩП02М, установленный слева на панели стенда – рис. 3.36). Это напряжение должно оставаться неизменным для обоих опытов. При этом ручку регулируемого сопротивления R на панели стенда установить в среднее положение.

5. В процессе исследования цепи с последовательно соединенными электроприемниками провести два опыта. Для этого следует выполнить следующее:

5.10. В первом опыте – исследование параллельной цепи с резистором и катушкой индуктивности без конденсатора – вначале следует отключить данную цепь (рис. 3.29) от источника питания (выходу ЛАТРа) с помощью выключателей S₁, S'₁, переведя кнопки этих выключателей в нижнее положение «откл» (рис. 3.36).

5.11. Установить общую емкость конденсаторов порядка С = 60 ÷ 80 мкФ нажатием соответствующих черных кнопок выключателей рядом с подключаемыми конденсаторами на панели №4 стенда с мнемосхемой батареи конденсаторов (см. рис. 3.38).

5.12. Отключить ветвь с конденсаторами, переведя выключатель S₅ в нижнее положение «откл» (рис. 3.36).

5.13. Подключить данную цепь (резистор и катушку индуктивности) к источнику питания (выходу ЛАТРа) с помощью выключателей S₁, S'₁, S₂, S'₂, S₃, S₄, переведя кнопки этих выключателей в верхнее положение «вкл».

5.14. Измерить входное напряжение U, потребляемую активную мощность Р и протекающий через последовательную цепь ток I, соответственно цифровыми измерительными приборами: вольтметром V, ваттметром W и амперметром А (см. принципиальную схему на рис. 3.29 и панель стенда на рис. 3.36).

5.15. Токи I_R и I_К, протекающие через резистор и катушку индуктивности, измерить цифровыми амперметрами, соответственно А_R и А_K, установленными на панели стенда рис. 3.36).

5.16. Полученные результаты измерений первого опыта занести в табл. 3.7.

Рис. 3.37. Панель блока питания лабораторного стенда

Рис. 3.38. Панель №4 стенда с мнемосхемами батареи конденсаторов
и катушки индуктивности

5.17. В конце 1-го опыта отключить цепь от источника питания с помощью выключателей S₁, S'₁, переведя их в нижнее положение «откл».

5.18. Во втором опыте – исследование параллельной цепи с резистором и катушкой индуктивности с конденсатором включить ветвь с конденсатором с ранее установленной емкостью (см. п. 5.13) с помощью выключателя S₅, переведя кнопку этого выключателя в верхнее положение «вкл» (рис. 3.36).

5.19. Поддерживая с помощью ЛАТРа неизменным входное напряжение U (оно должно быть как в первом опыте), провести необходимые измерения, аналогично пунктам 5.16 и 5.17.

5.20. Полученные результаты измерений второго опыта занести в табл. 3.7.

5.21. После проведения измерительной части работы, результаты измерений, относящиеся к данной работе, предъявляются преподавателю или учебному мастерудо отключения стенда.

5.22. В конце измерительной части данной работы нужно отключить исследуемую цепь от источника питания и сам блок питания от силового щитка с помощью выключателей S₁ и S₁^' на панели с мнемосхемой (рис. 3.36) и красной кнопки «выкл» выключателя на панели блока питания (рис. 3.37). Сообщить преподавателю об окончании измерений и приступить к вычислениям параметров цепи.

Таблица № 3.7