Гидростатическое давление

Силы, действующие в жидкости.

Гидростатическое давление

Гидростатика изучает теорию равновесия и относительного покоя жидкостей и газов. Исходным пунктом условий равновесия является изучение сил, действующих на некоторый объем жидкости.

Силы, приложенные к частицам сплошных сред по характеру действия, могут быть разделены на массовые (объемные) и поверхностные.

В зависимости от области приложения силы подразделяются на внутренние и внешние.

Массовые силы пропорциональны массе выделенного объема и действуют на все частицы этого объема. К массовым силам могут быть отнесены силы различного физического происхождения: силы веса, электромагнитные (силы Лоренца, электростатические и силы, действующие на магнитные жидкости) и различные силы инерции (кориолисова сила, центробежная и др.). Это силы дальнодействия.

Поверхностные силы действуют локально на поверхность выделенного объема. В общем случае поверхностные силы могут иметь составляющие, направленные по нормали и по касательной к площадке действия.

В покоящейся жидкости поверхностные силы направлены по нормали к поверхности выделенного объема жидкости. В движущейся жидкости дополнительно возникают касательные составляющие поверхностных сил, наиболее важными из которых являются силы трения.

В некотором объеме распределение массовых сил задается вектором плотности массовых сил , приложенных к частицам этого объема массой при ее стремлении к нулю, т.е.

(2.10)

Среднее значение вектора плотности массовых сил равно отношению главного вектора массовых сил к величине массы

(2.11)

Размерность плотности массовой силы совпадает с размерностью ускорения

(2.12)

Величина поверхностной силы в общем случае зависит от выбора направления элементарной площадки, поэтому обычно рассматриваются не сами силы, а их напряжения

(2.13)

где главный вектор поверхностных сил, приложенных к площадке .

Размерность напряжений

(2.14)

В практике используется единица измерения напряжений, называемая технической атмосферой, которая равна 1 т.а.=1 кг с/см²=736 мм рт. ст.=10 м вод. ст.=10⁵ Па.

Отметим, что величина 1 Па=1 бар=10^{-5 кг с/см2}=0,1 мм вод. ст.

Рассмотрим равновесие элементарного жидкого объема под действием поверхностных и объемных сил.

Выделим в жидкости элементарный тетраэдр с ребрами (рис.2.2).

Рис. 2.2. Силы, действующие на элементарный тетраэдр

Обозначим площадки действия элементарных сил соответственно и

Поверхностные силы, действующие на элементарный тетраэдр, пропорциональны второй степени его размеров и имеют второй порядок малости, а объемные - пропорциональны третьей степени размеров и являются величинами третьего порядка малости.

Выделение произвольно ориентированной площадки внутри жидкости (рис.2.3) показывает, что в покоящейся жидкости касательная составляющая и, следовательно, полная величина напряжения или элементарной поверхностной силы совпадает с ее нормальной составляющей .

Рис. 2.3. Составляющие силы , действующей на ориентированную площадку

Для равновесия выделенного элементарного объема необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на оси декартовой системы координат была равна нулю:

;

; (2.15)

,

где - орт нормали к наклонной грани.

Относя величины элементарных сил к площади граней, на которые они действуют, получим

;

; (2.16)

.

Поскольку , , являются проекциями наклонной грани на плоскости , получим

;

; (2.17)

.

Подстановка с учетом позволяет записать

. (2.18)

Этот вывод носит название закона Паскаля и гласит, что давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Иначе, давление в жидкости, определенное в заданной точке, не зависит от ориентации площадки действия и является функцией только координат

. (2.19)

Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами , выделенного в покоящейся жидкости (рис. 2.4).

На единицу массы жидкости действует массовая сила плотностью с составляющими . В ряде случаев для составляющих массовых сил используются обозначения , , . Если величина давления является возрастающей функцией координат, а в точке параллелепипеда действует давление , то на соответственно противоположных гранях давления равны

и ; и ; и (2.20)

при смещениях на , и соответственно.

Рис. 2.4.Силы, действующие на элементарный параллелепипед

Уравнение равновесия в проекции на ось с учетом величины элементарного объема имеет вид

(2.21)

или

. (2.22)

Аналогично, в проекциях на оси координат и получим

; (2.23)

. (2.24)

Это уравнения Эйлера или основные уравнения гидростатики.

Эту систему переписывают в виде

(2.25)

или

(2.25а)

Поскольку

(2.26)

и , (2.27)

то система может быть переписана в векторной форме

(2.28)

Умножая последовательно систему уравнений в проекциях на дифференциалы координат , , и складывая, получим

(2.29)

Правая часть уравнения является полным дифференциалом, поэтому и левая часть есть полный дифференциал, следовательно,

(2.30)

где

(2.31)

В случае изотропной жидкости ( )

, (2.32)

где - потенциал массовых сил и

(2.33)

В этом случае

(2.34)

Следовательно, жидкость может находиться в равновесии в случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал.

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называется поверхностью уровня. При уравнение поверхности уровня будет

(2.35)

или .

Следовательно, поверхность уровня это одновременно и эквипотенциальная поверхность.

Для тяжелой несжимаемой жидкости при отсутствии других массовых сил, кроме сил тяжести, имеем

и (2.36)

поэтому уравнения равновесия принимают вид

(2.37)

Первые два уравнения выражают независимость давления от координат и , поэтому поверхность уровня являются горизонтальными плоскостями.

Интегрирование последнего уравнения дает при постоянных и выражение

(2.38)

Если начало координат совмещено со свободной поверхностью покоящейся жидкости, на которой действует постоянное давление , то при (рис.2.5).

Рис. 2.5. Связь между направлением оси

и глубиной погружения под свободную поверхность

При получим

(2.39)

где - глубина погружения под свободную поверхность, направленная против направления оси .

Основной закон гидростатики, следовательно, гласит: давление в любой точке жидкости, находящейся в покое, равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания равной единице.

Примером использования основного закона гидростатики является работа сообщающихся сосудов (рис. 2.6.).

Рис. 2.6. Сообщающиеся сосуды

Давление в плоскости 0-0 следует считать одинаковым из условия сохранения равновесия жидкости, поэтому

(2.40)

что дает

(2.41)