Классическая механика

В ньютоновской механике формулируется частный случай закона сохранения энергии — закон сохранения механической энергии, звучащий следующим образом: полная механи­ческая энергия Ематериальной точки не изменяется при движении этой точки в поле потенциальных сил: Е= const. Так как полная механическая энергия, по определению, равна сумме потенциальной энергии П и кинетической энергии Т, то закон сохранения полной механической энергии может быть записан в виде

Т + П = const. (1.4)

Следует отметить, что при движении в поле непотен­циальных сил (например, силы трения) полная механи­ческая энергия не сохраняется. Легко показать, что закон сохранения полной меха­нической энергии тесно связан с основным уравнением механики (1.1).

Для этого вспомним, что работа силы А, с одной стороны, равна разности потенциальных энергии в начале и в конце траектории П₁ - П_2, а с другой — эта же самая работа равна разности кинетических энергий в кон­це и в начале траектории T₂ – T₁.Остается приравнять П₁ - П₂ =Т₂ -Т₁ и получить (1.4).

Классическим примером этого утверждения являются пружинный или математический маятники с пренебрежимо малым затуханием. В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия деформированной пружины (имеющая максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию груза (достигающую максимума в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно. В случае математического маятника аналогично ведёт себя потенциальная энергия груза в поле силы тяжести.

Термодинамика

В термодинамике исторически закон сохранения формулируется в виде первого принципа термодинамики:

Изменение внутренней энергии термодинамической системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил над системой и количества теплоты,переданного системе, и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход,

или, альтернативно:

Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил.

В математической формулировке это может быть выражено следующим образом:

Q = ΔU + A, (1.5)

где введены обозначения: Q — количество теплоты, полученное системой, ΔU — изменение внутренней энергии системы, A — работа, совершённая системой.

Закон сохранения энергии, в частности, утверждает, что не существует вечных двигателей первого рода, то есть невозможны такие процессы, единственным результатом которых было бы производство работы без каких-либо изменений в других телах.

2.2. Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона.

Этот закон имеет всеобщий характер и распространя­ется за пределы классической механики. В частности, он остается справедливым в релятивистской механике, где, правда, под массой, понимают не классическую, а реля­тивистскую массу, зависящую от скорости тела. Даже в квантовой механике, где импульс уже не равен произве­дению массы на скорость (так как понятие скорости в кван­товой механике вообще отсутствует в обычном понимании этого термина), закон сохранения импульса имеет место. Этот закон, с одной стороны, запрещает самодвижение объектов (например, барон Мюнхгаузен нарушил именно этот закон, подняв за волосы себя вместе с лошадью), с другой — открывает возможность реализации некоторых нетривиальных способов увеличения скорости (реактив­ное движение).

Закон сохранения импульса также тесно связан с ос­новным уравнением механики (3.1) и фактически пред­ставляет собой III закон Ньютона.

2.3. Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) утверждает, что векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной.

Закон сохранения момента импульсаимеет большое значение, прежде всего, в связи с движением тел в поле центральных сил (например, в гравитационном поле), а также при вращении тел. В частно­сти, в соответствии с этим законом происходит движение планет вокруг Солнца. Импульс р каждой плане­ты все время меняется, но моментимпульса L = prsinaостается неизменным .Именно с сохранением момента импульса связан второй закон Кеплера, в соответствии с которым радиус-вектор планеты за одинаковые промежут­ки времени описывает равные площади. В случае вращающегося твердого тела его суммарный импульс равен нулю, однако момент импульса Lотличен от нуля и в отсутствие моментов внешних сил остается постоянным: L= const.

Триумф небесной механики в XVIII-XIX веках был свя­зан именно с применением законов сохранения, а не с не­посредственным решением дифференциальных уравнений.

В 1918 г. выдающийся немецкий математик Эмми Нётер (1882-1935) сформулировала теорему, согласно которой для физи­ческой системы, движение которой описывается некоторым дифференциальным уравнением второго порядка, каждому непрерывному преобразованию симметрии ко­ординат и времени соответствует определенный закон со­хранения и наоборот. Непрерывными преобразованиями симметрии пространства и времени являются, например, сдвиг начала отсчета времени, сдвиг начала координат и поворот осей координат в пространстве. Это означает, что поведение изолированной механической системы не зависит от того, какой момент времени принят за нулевой, в каком месте пространства помещено начало координат и как ориентированы в пространстве оси координат. Напри­мер, сила притяжения между двумя точечными массами, находящимися на определенном расстоянии друг от дру­га, не изменится, если мы перейдем к другому началу от­счета времени, так как в законе всемирного тяготения вре­мя в явном виде вообще не фигурирует. Точно так же эта сила не изменится, если мы сместим начало координат или повернем оси координат, так как сила взаимодействия определяется только взаимным расстоянием между тела­ми. Если при смещении начала отсчета времени ничего не меняется в поведении рассматриваемых объектов, то го­ворят, что время однородно. Аналогично, если простран­ство симметрично относительно сдвига начала координат и поворота осей координат, то говорят, что пространство однородноиизотропно.

Согласно теореме Нётер, с однородностью времени свя­зан закон сохранения энергии, с однородностью простран­ства — закон сохранения импульса, а с изотропностью пространства — закон сохранения момента импульса.

Следует заметить, что отмеченная связь законов сохра­нения с симметрией пространства и времени имеет боль­шое философское значение, так как затрагивает вечные вопросы. Действительно, однородность времени фактически означает отсутствие фиксированного начала его отсчета, то есть бесконечность (вечность) време­ни. Однородность пространства таким же образом означает неограниченность, бесконечность. Но тогда, если считать пространство и время формами существования материи, то аналогичный вывод можно сделать и о материальном мире: он вечен и бесконечен. В противном случае пространство и время, оторванные от бытия, становятся трудноопреде­лимыми, «фиктивными» категориями. В то же время ограниченность ньютоновской механики в определенной степени должна переноситься и на вытекающий из этой теории фунда­ментальный вывод о вечности и бесконечности Вселенной, то есть эти свойства Вселенной уже не должны принимать­ся как неоспоримый факт. Современные космологические концепции подтверждают справедливость именно такой позиции.