Открытие несоизмеримости

Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися.

Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на извлечение квадратных корней, решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения главного тезиса их учения "все есть число".

Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е. арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо, наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 2. <…>

Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического числа.

Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но и несоизмеримые величины.

Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых точек-монад. <…>

Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы с величинами, но и понять, что такое величина.

Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками поставил Зенон из Элеи, выявив противоречия, связанные с понятием бесконечности, и после него невозможно было вернуться к прежнему, дорефлексивному оперированию математическими понятиями. Благодаря элеатам началась логическая работа над исходными понятиями науки - напряженная работа на протяжении V, IV и III вв. до н.э., завершившаяся созданием трех главных программ научного исследования: математической, атомистической и континуалистской. Характерно, однако, что на всем протяжении этого бурного периода в развитии философии и науки - с V по III в. до н.э. - можно выделить как бы два направления философско-теоретической работы.

Одно из них представлено теми философами и учеными, которые прежде всего заняты проблемами обоснования науки и логического уяснения и разработки ее понятий и методов. К нему принадлежат Зенон, Демокрит, Платон, Аристотель, Теофраст и др.

Другое направление представлено в первую очередь математиками - "практиками" - такими, как Архит Терентский, Евдокс Книдский, Менехм, Теэтет. Хотя эти ученые отнюдь не чужды вопросам обоснования науки и глубоко проникнуты заботой о логической четкости своих построений, но центр тяжести их исследований лежит в другом: они конструируют модели движения небесных светил, ищут способы решения математических задач, прибегая к помощи циркуля и линейки, и не всегда ставят вопрос о логическом обосновании своих методов.

Может быть, этим обстоятельством в какой-то мере объясняется тот факт, что некоторые пифагорейские представления о числе, точке и т.д. сохранялись еще у математиков до IV в. до н.э. включительно, несмотря на то, что в строго логическом обосновании математики к этому времени греческая мысль ушла далеко от исходной точки благодаря критике Зенона, работе Платона и других философов. А что пифагорейские представления о числе сохранялись до III в. до н.э., можно судить по уже приведенным отрывкам из Аристотеля, да и по некоторым книгам Евклидовых "Начал". Эти представления сохранялись до тех пор, пока с ними можно было работать математику - даже если с логической точки зрения они и не были достаточно прояснены и обоснованы. <…>

Согласно Рейвену, пифагорейцы под влиянием критики элеатов по-новому определили понятия "точки", "линии" и т.д., введя принцип непрерывности и рассматривая точки на линии лишь как ее "границы" или "пределы". По Рейвену, это было шагом вперед от понятия "минимальной линии", мыслимой как состоящей из двух точек. Рейвен считает, что эти новые понятия были созданы

"поколением пифагорейцев, живших уже в эпоху Платона; платоники же позаимствовали у них эти понятия".

Однако на основании тех источников, которыми пока располагает история науки, трудно разрешить вопрос, какую роль в этом процессе перестройки математических понятий сыграли современные Платону пифагорейцы, а какую - сам Платон и его школа. Некоторые исследователи поэтому полагают, что установлением таких основных геометрических понятий, как точка, линия, плоскость, трехмерное тело, наука обязана Платону, который далеко не все заимствовал у Филолая.

[4]

Введение в историю новой философии(1860г.)[10]

Фишер Куно[11]

Греческая философия как в создании, так и в последовательном движении ее проблем представляет собой достойный удивления и ни с чем не сравнимый пример глубочайшего и вместе с тем простого и естественного развития. Здесь ничто не выдумано, нигде в развивающемся ходе идей не встречается скачков, всюду мысль продумала и установила соединительные промежуточные члены; живая связь соединяет члены этого широко раскинувшегося ряда в одно целое, в великолепных формах которого мы вновь опознаем художественный дух классического искусства. Такое впечатление производит только греческая философия. Идеальный мир этой философии создан одним народом, одним языком и потому в ней не чувствуется разнохарактерности, присущей философии, создававшейся в разные века разными народами. И какое богатое содержанием развитие переживает греческая философия! При зарождении своем она все еще сливается с космологической поэзией естественной религии, в конце мы находим ее стоящей лицом к лицу с христианством, которое она не только воспроизводит в качестве существенного фактора, но требует его в качестве необходимого образовательного средства.

1. КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА