Лекция 7. Устойчивость и качество систем автоматического регулирования

Устойчивость САР

Переходный процесс в автоматической системе зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе две составляющие: свободное движение, определяемое начальными условиями и свойствами системы; вынужденное движение, которое определяется возмущением и также свойствами системы. Свободное движение должно с течением времени стремиться к нулю, так как это определяет устойчивость системы. В устойчивых САР переходный процесс затухает (рис. 62), а в неустойчивых – расходится (рис. 63).

Для аналитического определения характера переходного процесса необходимо составить дифференциальное уравнение движения системы в переходном процессе и проинтегрировать его, т. е. определить y(t).

Рис. 62. Рис. 63.

В общем виде дифференциальное уравнение движения относительно Δу при затухающем процессе можно записать как

.

Нуль в правой части означает, что процесс затухает. Коэффициенты являются постоянными, определяемыми параметрами системы. Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет вид

, (4)

где р – оператор.

Известно, что корни такого уравнения в общем случае есть комплексные числа вида . Необходимым и достаточным условием устойчивости является отрицательное значение всех вещественных частей корней характеристического уравнения. Если хотя бы один , то система неустойчива. Если же все , но имеются нулевые или чисто мнимые корни, то система имеет переходный процесс с незатухающими колебаниями, так называемая консервативная система, которая также считается неустойчивой.

Чем выше порядок дифференциального уравнения системы, тем сложнее искать корни характеристического уравнения. Поэтому были разработаны различные критерии устойчивости, применяемые в инженерных расчетах и позволяющие не решать уравнений. Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто применяемые.

1. Критерий Раусса - Гурвица.

Этот критерий позволяет определить устойчивость по коэффициентам уравнения системы. Для этого из коэффициентов характеристического уравнения составляется квадратная матрица, называемая определителем Гурвица. В первой строке матрицы записываются все нечетные коэффициенты, во второй – все четные. При отсутствии какого-либо коэффициента, а также вместо коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля, пишется 0. Например, для характеристического уравнения 4-го порядка:

и в общем виде

Система автоматического регулирования устройства, если определитель Гурвица, его диагональные миноры и все коэффициенты положительны. Таким образом, кроме положительности коэффициентов, необходимо определить знак диагональных миноров, отмеченных выше линиями на матрице для уравнения 4-го порядка. Достоинство критерия – простота. Однако применить критерий можно только при постоянстве параметров, и он не позволяет оценить запас устойчивости и быстроту затухания переходного процесса. Обычно применяют критерий для уравнений не выше 4-го порядка.

2. Критерий Найквиста.

По этому критерию об устойчивости замкнутой системы судят по АФЧХ разомкнутой. Для этого необходимо структурную схему замкнутой системы свести к виду, показанному на рис. 64. Затем разомкнуть систему и определить передаточную функцию W(p) = W₁(p)W₂(p). По W(p) строят АФХЧ (годограф). Система устойчива, если годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатами 0;–1, рис. 65.

Рис. 64. Рис. 65.

В этом критерии можно определить запас устойчивости по модулю и по фазе. Для этого необходимо провести окружность радиусом R=1, рис. 66.

Проведя радиус через точку пересечения А, можно определить запас устойчивости по фазе как угол и запас по модулю как отношение отрезков СВ/СО, или , где – значение АФЧХ разомкнутой системы при частоте , соответствующей = 180° (точка В), рис. 66.

Рис. 66.

3. Критерий устойчивости по ЛАЧХ.

Этот критерий представляет собой интерпретацию критерия Найквиста при помощи и разомкнутой САР. Замкнутая система устойчива, если разомкнутой системы при частоте среза не достигает 180°. При большем сдвиге фаза выходного сигнала меняется на противоположную и система, вместо того, чтобы идти к положению равновесия, уходит от него, рис. 67. Запас по фазе определяется углом при частоте среза (рис. 67), а по модулю , где – частота, при которой достигает 180°.

Рис. 67.

Для обеспечения удовлетворительных показателей переходного процесса устанавливают L_З ≤ 10 – 20 дБ и = 36–60°.

Различают структурно-устойчивые и структурно-неустойчивые системы. Для первых устойчивость зависит от значения ее параметров. Если при любых параметрах САР неустойчива, она называется структурно-неустойчивой. Способ определения устойчивости по логарифмическим характеристикам хорошо разработан и является инженерным. Здесь легко определить желательную характеристику , выяснить, какие звенья оказывают наибольшее влияние на устойчивость и какую характеристику должны они иметь.