Среднее по t временизначение в диамагнетике<pmлZ0> проекции на OZ ось вектора

p_mл⁰ индуцированного орбитального магнитного момента единицы объёма диамагнетика с учётом (4.31) из раздела 4.1 "Физическая термодинамика"nконцентрации атомов в этом диамагнетикеи (7.167) имеет следующий вид: Z Z

<p_mлZ⁰> = n<p_mлZ^ат> = n∑<p_mлiZ> = - (ne²B/6m)∑ r_лi ². (7.168)

i = 1 i = 1

Среднее по t временизначение в диамагнетике<p_mлZ⁰> проекции на OZ ось вектора p_mл⁰ индуцированного орбитального магнитного момента единицы объёма диамагнетикаявляетсясогласно(7.104) проекцией J_Z на OZ осьвектора J индуцированной намагниченности диамагнетика,котораяявляетсяединственной,отличнойотнуля, проекцией этого вектора J индуцированной намагниченности диамагнетика, вследствие чего с учётом (7.168) имеет место следующее выражение: Z

J_Z= <p_mлZ⁰> = - (ne²B/6m)∑ r_лi ², (7.169) i = 1 т.е. проекция J_Z = <p_mлZ⁰> на OZ осьвектора J индуцированной намагниченности диамагнетика равна сумме проекций J_Z ^ат = <p_mлZ^ат> на OZ осьвекторов J ^ат индуцированной намагниченностиотдельных атомов, находящихся в единице объёма этого магнетика.

У веществ, обладающих диамагнитнымисвойствами, существует только индуцированный вектор J намагниченности диамагнетика,направленный противоположно (рис.7.35) вектору

B индукциимагнитного поля в магнетике, т.е. существует только проекция J_Z на OZ ось, а проекции на OX, OY оси этоговектора J индуцированной намагниченности диамагнетика равны нулю, т.е.

J_X = J_Y = 0, поэтому (7.120) выражение вектора H напряжённостимагнитного поля в произвольной точке пространства, занятого диамагнетиком, в проекциях на OZ ось имеет следующий вид:

Z

H_Z = (B_Z/μ₀ ) - J_Z ↔. B= μ₀H + μ₀J_Z ↔ B= B₀ - μ₀ (ne²B/6m)∑ r_лi ², (7.170)

i = 1

где B_Z = B; H_Z = H - проекции на OZ ось векторовсоответственно B индукции и H напряжённости магнитного поля в диамагнетике,численно равныеих B,H модулям, поскольку векторысоответственно B индукции и H напряжённости магнитного поля в диамагнетикенаправлены по

OZ оси; μ₀H = B₀ - модуль (7.125)вектора B₀индукции магнитного поляв вакууме, имеющего

Hмодульнапряжённостимагнитного поля в диамагнетике.

Согласно(7.170) модуль B вектора Bиндукции магнитного поля в диамагнетике меньше

B₀ модуля вектора B₀индукции магнитного поляв вакууме, имеющего одинаковый Hмодульнапряжённостимагнитного поля , вследствие того, что вектор J индуцированной намагниченности диамагнетиканаправлен противоположно вектору H напряжённости магнитного поля в этом диамагнетике.

Согласно(7.126) J = χH связи векторовJ намагниченности и H напряжённостимагнитного поля в области пространства, занятого диамагнетиком, χ магнитная восприимчивостьимеет следующий вид: χ = J/H ↔ χ = J_Z /H, (7. 171) где отношение векторовзаменено отношением проекции J_Z на OZ осьвектора J индуцированной намагниченности диамагнетикак Hмодулювектору H напряжённости магнитного поля в диамагнетике, вследствие того, что оба этих вектора направлены по OZ оси.

Подставляем (7.169) проекцию J_Z на OZ осьвектора J индуцированной намагниченности диамагнетика, (7.170) H модулявектора H напряжённости магнитного поля в диамагнетикев (7. 171) и получаем следующее выражение χмагнитной восприимчивостиматериала диамагнетика:

Z Z

χ = J_Z /H ↔ χ = - (ne²B/6m)∑ r_лi ²/(B/μμ₀) ≈ - (μ₀ne²/6m)∑ r_лi ², (7.172)

i = 1 i = 1

где (7.127) B/μμ₀ = H ↔ H ≈ B/μ₀, т.к. у диамагнетиковμ магнитная проницаемостьна малую величину меньше единицы.

Магнитная(7. 172) восприимчивостьχ следующих диамагнетиков: инертные газы, некоторые металлы (цинк, золото, ртуть и др.), элементы типа кремния и фосфора, многие органические материалы отрицательна, имеет абсолютное значение порядка (0,1…10)·10^-6 и не зависит от температуры.

Магнитная(7. 172) восприимчивостьχ следующих диамагнетиков: медь, висмут, галлий, сурьма, графит и др.отрицательна, имеет абсолютное значение порядка (1…100)·10^-6 и зависит от температуры.

Сверхпроводникиявляются идеальным диамагнетикомс отрицательнойχ магнитной восприимчивостьюи имеет абсолютное значение, равное единице.

Физическая природа парамагнетизма

У веществ, обладающих парамагнитнымисвойствами, существует (рис.7. 33) вектор

p_mi орбитального магнитного момента атомовпарамагнетика,направленных в одну сторону

(рис.7.34) с вектором B индукциимагнитного поля в магнетике.

Магнитное поле в магнетикестремится установить векторыp_mi орбитальных магнитных моментоватомоввдоль вектора B индукции этого магнитного поля в парамагнетике, а в результате теплового движения векторыp_mi орбитальных магнитных моментоватомов отклоняются от преимущественного направления вдоль вектора B индукции магнитного поля в парамагнетике.

Потенциальная (7.88) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях"энергия W_pмех атома, имеющего

p_m модуль вектора(7.77)из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях"магнитного p_m орбитального моментаатома, который направлен (рис.7.36) под υ углом к векторуBиндукции магнитного поляв парамагнетике, имеет следующий вид: W_pмех= - p_mBcosυ. (7.173)

Согласно (4.236) из раздела 4.2 "Физическая термодинамика"распределению Больцманав любом потенциальномполе сил n концентрация молекул распределяется в соответствии с их

W_piпотенциальнойэнергией в этом поле.

Согласно распределению БольцманаdP_υ вероятность (4. 221) из раздела 4.2 "Физическая термодинамика"события, что векторымагнитного p_mi орбитального моментаатомов направлены

(рис.7.36) под υ углами, находящихся в интервале υ … υ + dυ значений, пропорциональна c учётом (7.138) следующему выражению: dP_υ ~ exp(-W_pмех/kT) = exp(p_mBcosυ/kT) = exp(acosυ), (7.174) где k = 1,38·10^-23 Дж/K - постоянная Больцмана(4.29) из раздела 4.1 "Физическая термодинамика"; T - термодинамическая(4.13)из раздела 4.1 "Физическая термодинамика"температура парамагнетика; a = p_miB /kT - безразмерный параметр, численное значение которого много меньше единицы, т.е. a << 1.

При отсутствии (рис.7.36) магнитного поля в парамагнетикевекторыp_mi орбитальных магнитных моментоватомовв объёме шара, ограниченном воображаемой сферой малого r радиуса, с равной вероятностью будут иметь все направления, т.е. эти векторыp_mi орбитальных магнитных моментовбудут представлять собой сферическоевекторное поле.

ТелесныйΩ₀ угол, в пределах которого находятся векторывсех направлений p_mi орбитальных магнитных моментоватомовв объёме шара, равен площади телесногоΩ₀ угла, ограничивающей этот объём, т.е. для определения телесногоΩ₀ угла имеет место следующее выражение: Ω₀ = 4πr². (7.175)

Вероятность P₀ события, что при отсутствии (рис.7. 36) магнитного поля в парамагнетикевекторыp_mi орбитальных магнитных моментоватомовв объёме шара, ограниченном воображаемой сферой малого r радиуса, будут иметь направления, находящихся в (7.175) втелесномΩ₀ угле, будет равна следующему отношению этого телесногоΩ₀ угла к площади поверхности воображаемой сферы: P₀ = Ω₀ /4πr² = 1, (7.176)

т.е. это событие является (4. 224) из раздела 4.2 "Физическая термодинамика" достоверным.

круглыми прямыми конусами с углами при вершинах υ и υ+dυ.

При наличии (рис.7.37) магнитного поля в парамагнетике, вектор B индукции которого направлен по OZ оси, векторыp_mi орбитальных магнитных моментоватомовв объёме шара, ограниченном воображаемой сферой малого r радиуса, будут иметь направления, ориентированные по этому вектору B индукции.

С использованием (7.174) коэффициента пропорциональности, выведенного из распределения Больцмана, вероятность dP_υн события, заключающихся в том, что при наличии (рис.7. 37) магнитного поля в парамагнетикевекторыp_mi орбитальных магнитных моментоватомовв объёме шара, ограниченном воображаемой сферой малого r радиуса, будут иметь направления, находящихся в телесномdΩ_υ угле, будет равна следующему произведениюэтого коэффициентапропорциональности на (7.145) вероятность dP_υ0 события при отсутствии (рис.7. 36) магнитного поля в парамагнетике: dP_υн = Aexp(acosυ)dP_υ0 = A[exp(p_mBcosυ/kT )]sinυdυ/2, (7.178) где A - множитель, определяемый из условия нормировки вероятности P_υн событий, заключающихся в том, что при наличии (рис.7.37) магнитного поля в парамагнетикевекторыp_mi орбитальных магнитных моментоватомовв объёме шара, ограниченном воображаемой сферой малого r радиуса, будут иметь все возможные направления.

Модуль p_m вектора p_mмагнитного моментаатома имеет численное значение порядка 10 ^-23 Дж/Тл, а достижимоечисленное значение (рис.7.37) модуля B вектора Bиндукции магнитного поля в парамагнетикеимеетпорядок 1Тл, поэтому численное значение p_miB произведенияв (7.178) имеетпорядок 10 ^-23 Дж.

Произведениеk = 1,38·10^-23 Дж/K постоянной Больцманана T ≈ 300 K термодинамическуютемпературу парамагнетикаимеет примерное численное значение 4·10 ^-21 Дж, поэтому a = p_miB /kT безразмерный параметр имеет примерное численное значение 2, 5·10 ^-3, т.е. a << 1.

Согласно приближённым формулам при замене выражения exp(p_mBcosυ/kT ) его приближением 1 + (p_mBcosυ/kT ), когда - 0,045 ≤ (p_mBcosυ/kT ) ≤ 0,045, погрешность такой замены не превышает 0, 1%,

π π π π

P_υн = ∫ dP_υн = ∫ A[1 + (p_mBcosυ/kT )]sinυdυ/2 = A/2[∫ sinυdυ + (p_mB/kT )∫cosυsinυdυ] =

0 0 0 0

= A/2[2 + (p_mB/kT )(1/2)sin²υ|₀ ^π = 1 ↔ A = 1.(7.180)

Подставляем (7.180) численное значение A множителяв (7.179) и получаем следующее приближённоевыражение вероятности dP_υн события, заключающихся в том, что при наличии

(рис.7. 37) магнитного поля в парамагнетикевекторыp_miорбитальных магнитных моментоватомовв объёме шара, ограниченном воображаемой сферой малого r радиуса, будут иметь направления, находящихся в телесномdΩ_υ угле:

dP_υн ≈ A[1 + (p_mBcosυ/kT )]sinυdυ/2 = [1 + (p_mBcosυ/kT )]sinυdυ/2. (7.181)

В единицеобъёма с n концентрацией(4.31) из раздела 4.1 "Физическая термодинамика" атомоввпарамагнетикеdn количество этих атомов, имеющих направления векторовp_mi орбитальных магнитных моментоватомов, находящихся (рис.7. 37) в υ … υ + dυ интервале значений углов, будет иметь c учётом (7.181) следующее значение: dn = ndP_υн = n[1 + (p_mBcosυ/kT )]sinυdυ/2. (7.182)

Проекция dp_mZ на OZ ось векторовp_miорбитальных магнитных моментоватомов (7.182)

dn количеством, имеющих направления этих векторов (рис. 7. 37) в υ … υ + dυ интервале значений углов, имеет c учётом (7.182) следующий вид:

dp_mZ= p_mcosυdn = p_mncosυ[1 + (p_mBcosυ/kT )]sinυdυ/2, (7.183) где p_m - модуль вектора(7.77)из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях"магнитного p_m орбитального моментаатома, который направлен (рис.7.37) под υ углом к векторуBиндукции магнитного поляв парамагнетике.

Проекция p_mZ на OZ ось векторовp_mi орбитальных магнитных моментоватомов (7.183)

n количеством, т.е. находящихся единицеобъёма парамагнетикаи имеющих направления этих векторов (рис.7.37) в 0 … π значений углов, имеет c учётом (7.183) следующий вид:

π π π π

p_mZ = ∫ dp_mZ = ∫ p_mncosυ[1 + (p_mBcosυ/kT )] sinυdυ/2 = (p_mn/2)[∫cosυdυ + (p_mB/kT )∫cos²υsinυdυ =

0 0 0 0

= - (p_mn/6)(p_mB/kT )cos³υ|₀ ^π = p_m²nB/3kT,(7.184) где p_mZ = J_Z - проекция на OZ ось (7.72) вектора J намагниченности парамагнетика, поскольку согласно (7.104) вектор J намагниченности магнетикаравен сумме векторов p_m магнитных моментовотдельных молекул, находящихся в единице объёма этого магнетика.

Согласно(7.126) J = χH связи векторовJ намагниченности и H напряжённостимагнитного поля в области пространства, занятого парамагнетиком, χ магнитная восприимчивостьимеет следующий вид: χ = J/H ↔ χ = J_Z /H, (7. 185) где отношение векторовзаменено отношением проекции J_Z на OZ осьвектора J индуцированной намагниченности парамагнетикак Hмодулювектору H напряжённости магнитного поля в парамагнетике, вследствие того, что оба этих вектора (рис.7.37) направлены по OZ оси.

Подставляем (7.184) проекцию J_Z на OZ осьвектора J намагниченности парамагнетикав

(7. 185) и получаем следующее выражение χмагнитной восприимчивостиматериала парамагнетика:

χ = J_Z /H ↔ χ = (p_m²nB/3kT)/(B/μμ₀) ≈ μ₀p_m²n/3kT, (7.186)

где (7.127) B/μμ₀ = H ↔ H ≈ B/μ₀, т.к. у парамагнетиковμ относительная магнитная проницаемостьна малую величину меньше единицы.

Магнитная(7. 186) восприимчивостьχ у следующих металлов: алюминий, литий, натрий, калий, рубидий и цезий, являющихсяпарамагнетиками, положительна, имеет абсолютное значение порядка (0,1…10)·10^-6 и не зависит от температуры.

Ферромагнетики: зависимость индукции, намагниченности и магнитной проницаемости ферромагнетика от напряжённости внешнего магнитного поля; петля гистерезиса. Магнитострикция

Особый класс магнетиков образуют вещества, способные обладать намагниченностьюв отсутствие внешнего магнитного поля. По своему наиболее распространённому представителю - железу - они получили название ферромагнетиков. К их числу, кроме железа, принадлежат никель, кобальт, гадолиний, их сплавыи соединения,а также некоторые сплавы и соединения марганца и хромас неферромагнитнымиэлементами. Ферромагнетизмприсущ всем этим веществам только в кристаллическом состоянии.