Вектор индукции магнитного поля 2 страница

Проекция dlB на векторBMиндукции магнитного поля вектораdl, направленного

(рис. 7. 7) от данной M точки в А точку на l контуре с элементарнымdl расстоянием между ними, имеет следующий вид: dlB= rM.(7.22)

 
 
Циркуляция вектора B индукции магнитного поля в вакууме по l контуру, т.е. при перемещении M точки, в которой определяется вектор B магнитной индукции, по этому l контуру, с учётом (7.21), (7.22) имеет следующий вид: 2π 2π ∫ Bdl = ∫ BdlB= (μ0I/2π) ∫ dlB/r = (μ0I/2π)∫rdφ/r = (μ0I/2π)∫dφ = μ0I, (7.23) l l l 0 0 где I - ток силой, охватываемый l контуром; r - модуль r вектора, направленного от проводника в очередную M точку, находящуюся на l контуре, при циркуляции вектора B магнитной индукции по этому l контуру. Если l контуртока не охватывает, то циркуляция вектора B магнитной индукции по l контуру равна нулю.

 


O
O
O
 

O
O
O
O
Если l контурохватываетn проводников с токами I1, I2 Inсилой, каждый из которых создаёт в произвольной M точке, находящейся на l контуре, соответствующийвектор B1M, B2M, ….., BnM индукции магнитного поля,то согласно принципу суперпозиции результирующий вектор B0M индукции магнитного поля в этой M точке имеет следующий вид: n B0M = ∑BiM. (7.24) i = 1 Циркуляция результирующего вектора B0 индукции магнитного поля по l контуру, который охватывает n проводников с токами I1, I2, …..,Inсилой, с учётом (7.24) имеет следующий вид: n n

O
O
O
B0dl = ∫ ∑Bi dl = ∑ ∫Bidl.(7.25) l l i = 1 i = 1 l Каждый из интеграловBidl в (7.25) пропорционаленс учётом(7.23) току Ii силой в проводнике, где i = 1,2,…n является номером проводника, который охватывается l контуром, поэтому имеет место следующее выражение:Bidl= μ0Ii, (7.26) l где Ii - величина положительная, если ток Iiсилойна рис.7. 7 направлен на"наблюдателя", тогда вектор B индукции магнитного поля по l контуру направлен против "часовой стрелки"; Ii - величина отрицательная, если ток Ii на рис.7.7 направлен от"наблюдателя", тогда вектор B индукции магнитного поля по l контуру направлен по"часовой стрелке". Подставляем (7.26) в (7.25) и получаем следующее выражение циркуляции результирующего вектора B0 индукции магнитного поля в вакууме по l контуру, т.е. при перемещении M точки по этому l контуру, который охватывает n проводников с токами I1, I2, …..,Inсилой: B0 dl= μ0 ∑Ii. (7.27) l i = 1 Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля в интегральной виде имеет своё математическоевыражение (7.27): циркуляция результирующего вектора B0 индукции магнитного поля по l контуру в вакууме, который охватывает n проводников с токами I1, I2 Inсилой, равняется алгебраическойсумме этих токов, умноженной на μ0 -магнитнуюпостоянную. Если токи текут через поверхность S площадью, охватываемую l контуром, с вектором

j плотноститока через элементарную поверхность dS площадью, а n - положительнаянормаль к этой поверхности dS площадью, то суммирование(7.27) токов в каждом из n проводников заменяем интегрированиемпо поверхности S площадью, вследствие чего для результирующего тока I0 силой через поверхность S площадью,охватываемую этим l контуром, имеет место следующее выражение: n

I0 = ∑Ii = ∫j dS = ∫jndS. (7.28)

i = 1 S S

O
Подставляем (7.28) в (7.27) и получаем следующее математическое выражение теоремы в интегральном виде о циркуляции результирующего вектора B0 магнитной индукции, согласно которомуциркуляция результирующего вектора B0 магнитной индукции по l контуру в вакууме равна интегралу от токов с вектором j плотности, пересекающих поверхность S площадью, которую охватывает этот l контур: B0 dl0 j dS. (7.29) l S Заменим в (7.29) по теореме Стокса (5.41) из раздела 5.1 «Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля» интегралпо контуру поверхностныминтегралом по поверхности S площадью, которую охватывает этот l контур и получим следующую теорему о циркуляции результирующего вектора B0 индукции магнитного поля в вакууме в дифференциальномвиде: B0 dl= ∫ [B0 ] dS = μ0j dS ↔[ B0 ] = μ0j. (7.30) l S S Согласно (7.30) ротор [ B0 ] = rot B0 (5.42) из раздела 5.1 «Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля» результирующего вектора B0 индукции магнитного поля в вакууме в произвольной точке пространства пропорционален вектору j плотноститока в этой точке пространства.

O


Расчет магнитного поля соленоида с постоянным током в вакууме

Соленоид- это длинная (рис.7. 8) тонкостенная диэлектрическая трубка, на которую намотан проводник с током Iсилойи количеством n витковна единицу длины. Линейнаяjлинплотностьтока всоленоидеимеет следующий вид: jлин = nI. (7.31) В сечении A - A магнитные потоки (7.18) Фm = BS через внутреннее и Фm' = B' S' внешнее сечения соленоидасоответственно S, S' площадьювследствие замкнутости линий магнитногополя одинаковы, поэтому имеет место следующее равенство: BS = B'S', (7.32)

где B и B' - соответственно модули векторовB и B' индукции магнитного поля внутрии вне соленоида. Т.к. S' площадь вне соленоида бесконечна, а магнитный поток через внешнее Фm' = B' S' сечение соленоида величина конечная, то имеет место следующее равенство: B' = 0. (7.33) Циркуляция (7.23) векторов B и B' индукции магнитного поляв вакууме внутрии вне соленоидапо контуру 1 - 2 - 3 - 4 с учётом (7.33), т.е. наличия только вектораB индукции магнитного

поляв вакууме внутри соленоида, направленного вдоль 2 -3 отрезкаa длиной, а также с учётом (7.31) охвата1 - 2 -3 -4 контуром na проводников, по которым протекает ток I силой, имеет следующий вид: ∫ Bdl =∫ BdlB =Ba = μ0 naI ↔ 1 - 2 -3 -4 2 -3 ↔ B = μ0nI.(7.34)Выражение (7.34) справедливо в середине(рис.07. 0.8) длины соленоида. У конца соленоида  

O

 

модуль B вектораB индукциимагнитного поля в вакууме имеет следующий вид: B = μ0nI/2.(7.35)

 

Расчет магнитного поля тороида с постоянным током в вакууме

 

В тороиде(рис. 7. 9) проводник с током I силойнамотан на тонкостенный диэлектрический тор n количеством витковна единицу длины. Внутри тороида вектор B индукции в вакууме направлен вдоль линиймагнитного поля, имеющих форму окружностей с R радиусом.Вне тороида вектор B' индукции магнитного поля по аналогии (7.33) равен нулю.Циркуляция (7.27) вектора B индукции магнитного поляв вакууме внутри тороидапоокружности с R радиусом с учётом (7.23),

 

Ο
Ο
т.е. наличия только вектора B, касательного в каждой точке окружности2πR длиной, а также с учётом (7.31) охватаэтой окружностью2πRn проводников, по которым протекает ток Iсилой, имеет следующий вид: ∫ Bdl = ∫ BdlB = B2πR= μ02πRnI ↔ B = μ0nI. (7.36) 2πR 2πR Математические (7.34) и (7.36) выражения модулей B векторов B индукциимагнитного поля в вакууме внутрисоответственно длинного соленоидаи тороида совпадают.  

Лекция 6. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

Сила Лоренца. Движение заряженной нерелятивистскойчастицы в однородном магнитном поле. Движение заряженной релятивистской частицы в однородном магнитном поле. Отклонение движущихся заряженных частиц электрическими и магнитными полями. Эффект Холла. Определение удельного заряда нерелятивистскогои релятивистского электрона. Определение удельного заряда ионов. Масс - спектрографы. Ускорители заряженных частиц. Циклотрон. Синхрофазотрон.

 

Сила Лоренца

 

Вектор Fe силы, который действует при отсутствии магнитногополя со стороны электрическогополя на нерелятивистскуюили релятивистскую частицу с q+положительным или

q- отрицательным зарядом согласно (5.3) из раздела 5.1 «Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. ТеоремаГауссадля электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля» имеет следующий вид: Fe= qE, (7.37) где при q+ положительном заряде вектор Fe силы коллинеаренвектору E напряженности электрического поля и направлен с ним в одну сторону, а в случае сq- отрицательным зарядом вектор Fэ силы коллинеаренвектору E напряженности электрического поля и направлен с ним в противоположную сторону.

МодульE и направление (5.3) из раздела 5.1 «Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля» вектора E напряженности электрического поля при отсутствии магнитногополя определяет (7.37) модульFe и направление вектора Fe силы, который действует на нерелятивистскуюили релятивистскую частицу с

q+положительным или q- отрицательным зарядом. Поэтому вектор E напряженности электрического поля при отсутствии магнитногополя является силовой характеристикой длянерелятивистскойили релятивистской частицы с q+ положительным или q- отрицательным зарядом.

Вектор Fm силы, который действует со стороны магнитногополя на нерелятивистскуюили релятивистскую частицу с q+ положительным или q- отрицательным зарядом согласно имеет следующий вид: Fm= q[v, B], (7.38)

где при q+ положительном заряде вектор Fm силы коллинеарен векторному [v, B] произведениюинаправлен с ним в одну сторону от (рис.7.2) векторов v скоростииB индукции магнитного поля в точке нахождения в данный момент t времени электрически заряженной частицы; при q- отрицательном заряде вектор Fm силы коллинеарен векторному [v, B] произведениюинаправлен с ним в противоположную сторону от (рис.7.2) векторов v скоростииB индукции магнитного поля в точке нахождения в данный момент t времени электрически заряженной частицы.

Вектор F силы Лоренца, который действует на нерелятивистскуюили релятивистскую частицу с q+положительным или q- отрицательным зарядом при её движении в пространстве, где одновременносуществует электрическоеи магнитноеполе, имеет согласно (8.82), (8.83) следующий вид: F = Fe + Fm = qE+ q[v, B]. (7.39)

Выражение (7.39) справедливо для постоянных из параграфа "Электрический заряд. Закон Кулона" из раздела 5.1 «Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля» и переменныхво t времени электрических полей, а также справедливо для постоянных(7.6) " и переменныхво t времени магнитных полей.

Вектор F силы Лоренца, который действует на частицу с q+положительным или q- отрицательным зарядом при её отсутствии движения в пространстве, где существует только магнитноеполе, т.е. (7.37) вектор E напряженности электрического поля равен нулю,тоже (7.38) равен нулю. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического, а именно: магнитноеполедействуеттолько на движущийся заряд.

МодульB и направление (7.6) вектора B индукции магнитного поля при отсутствии электрического поля определяет (7.38) модульFm и направление вектора Fm силы, который действует на движущуюся с вектором v скоростинерелятивистскуюили релятивистскую частицу с q+ положительным или q- отрицательным зарядом. Поэтому вектор B индукции магнитного поля при отсутствии электрического поля является силовой характеристикой движущейся с вектором v скоростинерелятивистскойили релятивистской частицы с с q+положительным или q- отрицательным зарядом.

Согласно (7.38) вектор Fm силы, который действует на движущуюся с вектором v скоростинерелятивистскуюили релятивистскую частицу сq+ положительным или q- отрицательным зарядом всегда перпендикулярен этому вектору v скорости, поэтому (1.82) из раздела 1.0 "Физические основы механики" работаA этоговектора Fm силы со стороны постоянного магнитногополя по перемещениюэлектрически заряженной частицыравна нулю.

 

Движение заряженной нерелятивистскойчастицы в однородном магнитном поле

 

На (рис. 7.10) нерелятивистскаячастица, например, имеющая q+ положительный заряд и движущаяся при отсутствии электрического поля с вектором v скоростив вакууме во внешнем однородном магнитном полес вектором B индукции этого магнитного поля, действует(7.38) следующий векторFm силы Лоренца: Fm= q+[v, B]Fm = q+vBsinα = q+vB, (7.40)

где Fm -модуль вектора Fm силы Лоренца, направленного к центру окружности R радиусом, по которой

с vмодулем вектораvперпендикулярной составляющей вектора v скорости двигается q+ положительный заряд; α -угол, под которым q+ положительный заряд с вектором v скорости первоначально двигался в вакуумевOYZ плоскости неподвижной OXYZ системы координат до момента t0 времени попадания в область однородногомагнитного поля с вектором B индукции этого магнитного поля.

Кроме (рис. 7.10) движения q+ положительного заряда по окружности R радиусом он двигается прямолинейно по OY оси неподвижной OXYZ системы координат с вектором

v\\ составляющей вектора v скорости,параллельнымвектору B индукции внешнего однородного магнитного поля,поэтому траекториейдвижения этого q+ положительного заряда во внешнем однородном магнитном полебудет спираль.

 
 
ПодвижнаяO′X′Y′Z′ система координат связана с q+ положительным зарядом, вследствие чего она вместе с этим q+ положительным зарядом двигается равномерно по OY оси неподвижной OXYZ системы координат с векторомv\\ составляющей вектора v скорости,параллельным вектору B индукции внешнего однородного магнитного поля, а также (рис.1.1) из раздела 1.0 "Физические основы механики" равномерно двигается по окружности R радиуса с центром,


 

лежащим на OY оси неподвижной OXYZ системы координат, с постоянным по модулюv вектором

v скорости и вектором an нормальногоускорения, направленного по O′X′ оси подвижнойO′X′Y′Z′ системы координат.

Модуль an вектора an нормальногоускорения (1.16) из раздела 1.0 "Физические основы механики"для обозначений, принятых на рис. 7.10, имеет следующий вид: an = v2/R. (7.41)Проекция на O′X′ ось (1.46) из раздела 1.0 "Физические основы механики"второго законаНьютонав неинерциальной подвижнойO′X′Y′Z′ системе координат, поскольку эта подвижнаяO′X′Y′Z′ система координат двигается (рис. 08.0.11) вместе с q+ положительным зарядом с вектором an нормальногоускорения по спирали, с учётом направления вектора Fи инерциальнойсилы в отрицательную сторону O′X′ оси подвижнойO′X′Y′Z′ системы координат и направления (8.86) вектораFm силы Лоренца в положительную сторону O′X′ оси подвижнойO′X′Y′Z′ системы координат и без учёта силы тяжести этого q+ положительного заряда m массыимеет следующий вид:

O′X′: 0 = FиX' + FmX' = - man + q+vB 0 = - m(v2/R) + q+vBR = mv/q+BT = 2πR/ vT = = 2πm/q+B, (7.42)

где FиX' = - man= - m(v2/R) - отрицательноезначениепроекции на O′X′ ось вектора Fиинерциальнойсилы, поскольку этот вектор Fиинерциальнойсилы направлен вотрицательную сторону O′X′ оси подвижнойO′X′Y′Z′ системы координат; FmX' = q+vB - положительноезначениепроекции на O′X′ ось (8.84) вектора Fmсилы, поскольку этот вектор Fm силы направлен в положительную сторону O′X′ оси подвижнойO′X′Y′Z′ системы координат; q=|q-| -модуль отрицательного заряда.; T -период полного оборота q+ положительного заряда m массыпо окружности R радиуса с центром, лежащим на OY оси неподвижной OXYZ системы координат, не зависит согласно (8.88) от модуля vвектора

vперпендикулярной составляющей вектора v скорости движения заряженной частицы.

Расстояние l между соседнимивитками (рис. 7.10) спиралиопределяется из следующего расчёта пути l величиной, который q+ положительный заряд m массыс модулем v\\вектора








Дата добавления: 2016-02-14; просмотров: 1085;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.036 сек.