Статистическое описание равновесных состояний термодинамических систем: одно -, дву – и трехмерные функции распределения 6 страница

md[<y(dy/dt)>]/dt - m<(dy/dt)²> + r<y(dy/dt)> = <yF_iY > , (4.339)

В (4.339) среднее <yF_iY > значение произведения двух независимых случайных величин, а именно, y координаты и F_iY проекции на OY ось вектора F_i случайнойсилы равняется нулю, т.е. это среднее значение произведенияимеет следующий вид: <yF_iY > = 0. (4.340)

В (4.339) m<(dy/dt)²> представляет собой удвоеннойзначение (4.32) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"средней <W_ki> кинетической энергии поступательногодвижения с модулём v векторvнерелятивистской из раздела 03.0.0 "Релятивистская механика" скорости частицыm массой, например, по OY оси, вследствие чего для m<(dy/dt)²> получаем следующее выражение: m<(dy/dt)²> = 2<W_ki>. (4.341)

Средняя кинетическая <W_ki> энергии поступательногодвижения скорости частицы

m массой, имеющей одну степень свободы", т.е.перемещающейся по одной оси, например, по OY оси, (4.35) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика" определяется изследующего выражения: <W_ki> = ikT/2. (4.342)

Подставляем (4.342) в (4.341), вследствие чего для m<(dy/dt)²> получаем следующее выражение:

m<(dy/dt)²> = kT, (4.343)

где T - термодинамическаятемпература жидкости или газа, в которой перемещается броуновскаячастица; k - постоянная(4.29) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"Больцмана, имеющее следующее выражение: k = R/N_A = 1,38·10^-23 Дж/K.

Подставляем (4.340) <yF_iY > = 0 и (4.343) m<(dy/dt)²> = kT в (4.339) и получаем следующее линейное дифференциальное уравнение относительно функции <y(dy/dt)>, зависящей от t времени: md[<y(dy/dt)>]/dt + r<y(dy/dt)> = kT, (4.344) где T - термодинамическаятемпература жидкости или газа, в которой перемещается броуновскаячастица m массой с r коэффициентом сопротивления среды, в данный момент t времени является величиной постоянной. Поэтому (4.344)линейное дифференциальное уравнение относительно функции <y(dy/dt)> с постоянными m, r, k, T коэффициентами, т.е. не зависящими от аргумента

t времени, с учётом нахождения броуновскойчастицы в начальный момент t₀ = 0 времени в

(рис. 04. 2.0.33) y₀ = 0 координате, поэтому < y₀(dy/dt)> = 0, имеет решениеследующего вида:

<y(dy/dt)> = (kT/r)(1 - e^{- t/τ}), (4.345)

где τ = m/r, c - постояннаявремени броуновскойчастицы.

Масса m броуновскойчастицы мала, а момент t времени измерения x, y и z координат этой броуновскойчастицы может быть любым, поэтому для момента t времени измерения намного превышающейτ постояннуювремени броуновскойчастицы, т.е. при t>> τ,(4.345) решение

(4.316)линейного дифференциального уравнения имеет следующий вид: <y(dy/dt)> = kT/r, (4.346) Первая производная по аргументу t времени произведенияy(t) и y(t) двух функций по этому аргументу имеет следующий вид: d(yy)/dt = y(dy/dt) + (dy/dt)y↔ d(y²)/dt = 2y(dy/dt) ↔

↔ y(dy/dt) = (1/2)d(y²)/dt. (4.347)

В уравнении (4.347) y координата является функцией аргумента t времени, т.е. y(t), поэтому оно справедливо для среднихзначений всех слагаемых по t времени, вследствие чего получаем следующее выражение:

y(dy/dt)> = (1/2)<d(y²)/dt> ↔ <y(dy/dt)> = (1/2)<d(y²)>/dt ↔ <y(dy/dt)> = (1/2)d<y²>/dt, (4.348)

где <d(y²)/dt> = <d(y²)>/dt преобразование выполнено потому, что усреднение по t времени произведено для дифференциалаd(y²) квадрата y² координатыброуновскойчастицы, который зависит от t времени, а элементарное dt приращение в любой момент t времени измерения x, y и z координат этой броуновскойчастицы постоянно; <d(y²)> = d<y²> преобразование выполнено по правилу определения дифференциалаот суммы или разности функций, которыми в данном случае являются дифференциалыквадратов d(y₁²) , d(y₂ ²), …, d(y_i²), …, d(y_n²) координатy₁² , y₂ ², …, _i², …, y_n² броуновскойчастицы, измеренных в моменты t₁ , t₂, …, t_i, …, t_n времени.

Подставляем (4.348) в (4.346)решение(4.344)линейного дифференциального уравнения для момента t времени измерения x, y и z координат броуновскойчастицы намного превышающей

τ постояннуювремени этой броуновскойчастицы, т.е. при t>> τ, и получаем следующую зависимость d<y²>/dt первойпроизводной<y²> среднегозначения квадрата y² координатыброуновскойчастицы от аргументаt времени: (1/2)d<y²>/dt = kT/r ↔ d<y²> = 2(kT/r)dt. (4.349)

Интегрирование (4.349) дифференциального уравнения с разделяющимисяпеременными приводит к следующей зависимости <y²> среднегозначения квадрата y² координатыброуновскойчастицы от аргументаt времени: ∫d<y²> = ∫2(kT/r)dt ↔ <y²> = 2kTt/r + c. (4.350)

Постоянную c интегрирования в (4.350) определяем из (рис. 04. 2.0.33) следующего условия нахождения броуновскойчастицы в y₀ = 0 координате в начальный момент t₀ = 0 времени:

< y₀²> = 2kTt₀ /r + c ↔ c = 0. (4.351)

Подставляем (4.351) в (4.350) и получаем следующую зависимость <y²> среднегозначения квадрата y² координатыброуновскойчастицы от аргументаt времени, полученное независимо друг от друга в 1905 году А.Эйнштейном и польским физиком М.Смолуховским:

<y²> = 2kTt/r ↔<y²> = Dt, (4.352)

где D = 2kT/r - коэффициентдиффузии броуновскойчастицы.

Согласно (4.352) <x²>, <y²> и <z²> средниезначения квадратов x², y² и z² координат броуновскойчастицыв (рис.1.1) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики» прямоугольной декартовой системе координат пропорциональны t времени, т.е. с течением t времени броуновскаячастица оказывается всё дальшеи дальше от первоначальногоположения. Это смещение броуновскойчастицы с течением t времени относительнопервоначальногоположения вследствие значения D = 2kT/r коэффициентадиффузиипропорционально T термодинамическойтемпературе и обратно пропорциональноr коэффициенту сопротивления жидкости или газа, в которой перемещается эта броуновскаячастица.

Теория броуновскогодвижения позволяет определить не только координаты частиц в жидкости или газе, но и случайные отклонения при измерениях различных параметров у объектов высокоточнымиизмерительными приборами, а также позволяет провести оптимизацию конструкций по критерию минимальной погрешности этих измерительных приборов.

Производство энтропии в необратимых термодинамических процессах

Перенос (4.315) qпотокомтеплоты, приводящий (рис. 04. 2.0.29) к выравниванию температурыв различных точках среды, является (4.160) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика" необратимымпроцессом потому, что в каждой элементарной области в данный момент t времени с постоянной T термодинамическойтемпературой происходит (4.7) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"передача δQэлементарногоколичества теплоты, поэтому в элементарной областивыполняется dS > δQ/T неравенство Клаузиуса.

При переносе теплоты (4.150) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"

dS дифференциалэнтропии положителен, т.е. при переносе теплоты происходит производство

Sэнтропии, что справедливо при любом необратимомпроцессе.