Статистическое описание равновесных состояний термодинамических систем: одно -, дву – и трехмерные функции распределения 3 страница

Время Δt пролёта атомов7 металла, летящих с vi модулем вектораvi скорости от 3 прорези нижнего диска до 3 прорезиверхнегодиска, которые расположены на L расстояниидруг от друга, имеет следующее значение: Δt = L/v. (4.276)

  Если за (4.276) Δt время 3 прорезь верхнего диска окажется в плоскости 4 траектории летящих с vi модулем вектора vi скоростей 7 атомов металла, то они беспрепятственно пролетят 3 прорезь верхнего диска и будут зарегистрированы 5 детектором. Это случится в том случае, если за (4.236) Δt время диски, в том числе и верхний диск, повернется на φ угол, который имеет следующий вид: φ = Δtω ↔ v = ωL/φ.(4.277) Изменяя (1.19) из раздела 01.0 «Физические основы механики»ω циклическую частотувращения 3 дисковможно было отбирать из атомарногопучка, вылетевшего из 1 печи, атомы с определённым (4.252) vi модулем и направлением вектора vi скорости, и по регистрируемой 5 детектором интенсивностиэтих атомов судить об относительном содержании их в атомарномпучке. Таким способом удалось экспериментально проверить статистический закон (4.267) распределения Максвелла молекул по скоростям.

 

Статистическое описание равновесного состояния термодинамических систем с помощью фазового пространства (каноническое распределение Гиббса)

 

Система N одинаковых взаимодействующихмежду собой частиц в классическойдинамике описывается (1.1) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики» ri радиусом - вектором

i - ойчастицы, соединяющим O начало координат с этой частицей, и (1.41) из раздела 01.0 «Физические основы механики»вектором pi её импульса.

Полная совокупность r1, r2,.. , ri, .. , rN радиусов - векторови векторов p1, p2,.. , pi, .. , pN импульсов всех частиц, входящих в систему, описывает состояние этой системы в целом.

Взаимодействиемежду собой не имеющих внутреннейструктурычастиц в макроскопическойсистеме, например, взаимодействиемежду собой молекул реального газа в параграфе "Эффект Джоуля – Томсона" из раздела 04. 1.0 "Физическая термодинамика"описываютпотенциальнымифункциями следующего вида: Wpij= Wpij (ri, rj), (4.278) где Wpij- потенциальная в параграфе "Консервативные силы. Работа в потенциальном поле" из раздела 01.0.0 «Физические основы механики»и энергия (5.137) из раздела 05.2.0 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" взаимодействия Wвз между i - ой и j - ойчастицами, входящими в эту макроскопическуюсистему, причём j ≠ i.

Полная энергия системы N одинаковых взаимодействующихмежду собой частиц описывается H функцией Гамильтона, которая равна (1.89) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики»

N N

Wk(pi) = ∑Wki = ∑pi2/2m суммекинетическихэнергий этих N частиц,где pi - вектор импульса

i = 1 i = 1

i - ойчастицы, и сумме (1.94) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики»

N N

Wp(ri, rj)= (1/2)∑ ∑ Wp(ri, rj) потенциальных энергий взаимодействия между i - ой и j - ой

i = 1 j = 1

частицами, причём j ≠ i, вследствие чего для определения H(ri,pi) функции Гамильтона имеет место N N N

следующее выражение: H(ri,pi) = ∑pi2/2m + (1/2)∑ ∑ Wp(ri, rj), (4.279)

i = 1 i = 1 j = 1

j ≠ i

где Wpij (ri, rj) - потенциальная энергия взаимодействия между i - ой и j - ойчастицами, имеющих соответственно (рис.1.1) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики» ri и rj радиусы - векторы; коэффициент 1/2 учитывает равенство потенциальных энергий взаимодействиймежду частицамипри перестановке номеров частиц, например, Wp(r1, r2) = Wp(r2, r1), поэтому при двойном суммировании в (4.239) потенциальная энергия взаимодействия между i - ой и j - ойчастицамиприсутствуетдваждыи для получения истинного значения потенциальной энергии взаимодействия перед двойной суммой введён 1/2 коэффициент.

МакроскопическоесостояниеN одинаковых взаимодействующихмежду собой частиц задаётсясовокупностью r1, r2,.. , ri, .. , rN радиусов - векторовивекторов p1, p2,.. , pi, .. , pN импульсов всех Nчастиц. Радиус - вектор ri, соединяющий O начало координат с i - ой частицей, имеет

(рис.1.1) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики» вдекартовой системе координат

xi, yi и zi координаты концаэтого ri радиуса - вектора, а Vr представляет собой объём, построенный на координатных OX, OY и OZ осях, в котором находятся все Nчастиц. В прямоугольной декартовой (рис.1.1) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики» системе координат, по координатным OpX, OpY и OpZ осям которой откладываются (рис. 04. 2.0.25) проекции piX, piY и piZ вектора pi импульса

i - ойчастицы, представляет собой p - пространство или пространство импульсов, а Vp представляет собой объём, построенный на координатных OpX, OpY и OpZ осях, в котором находятся все проекции piX, piY и piZ векторов pi импульсов Nчастиц.

Произведение VrVp = Vrp представляет собой шестимерный объём координатного и импульсного пространства, в котором находятся xi, yi, zi координаты концов ri радиусов - векторови проекции piX, piY, piZ вектора pi импульсов всех Nодинаковых взаимодействующихмежду собой частиц.

Замкнутая термодинамическая система с заданным Nчислом одинаковых взаимодействующихмежду собой частиц, характеристики которой находятся в известном

Vrp шестимерном объёме координатного и импульсного пространстваи находящейся в тепловомконтакте с термостатом, имеющем Tтемпературу, т.е. имеющей постояннуюTтемпературу, называется каноническим ансамблем Гиббса. Для этого ансамбля введено каноническое распределение Гиббса, имеющее следующий вид: f(ri, pi) = (1/θ)exp-[H(ri,pi)/kT]. (4.280)

Постоянную θ определяют из следующего условия нормировки (4.280) выражения:

1 = (1/θ)∫ exp-[H(ri,pi)/kT]dVrp ↔ θ = ∫ exp-[H(ri,pi)/kT]dVrp, (4.281)

Vrp Vrp

N

где dVrp = ∏dxidyidzidpiXdpiYdpiZ - элементарный объём шестимерного координатного и импульсного

i = 1

пространства, который представляет собой произведение элементарных приращений xi, yi, zi координат и проекций piX, piY, piZ вектора pi импульсов всех Nодинаковых взаимодействующихмежду собой частиц, т.е представляет собой 6N - мерную независимую интегрирования.

С помощью (4.280) канонического распределения Гиббса можно определить наблюдаемые макроскопическиепараметры любой термодинамической системы, находящихся в равновесномсостоянии и имеющих неизменное число Nодинаковых взаимодействующихмежду собой частиц.

Однако непосредственное применение (4.280) канонического распределения Гиббса связано с интегрированием6N - мерной f(ri, pi) функции распределения, что является затруднительной математической задачей для реальной системы, состоящей из большого количества Nодинаковых взаимодействующихмежду собой частиц.

Поэтому для решения многих прикладных задач используют более простые функции распределения, например, распределение Максвелла – Больцмана, которое может быть получено из (4.280) канонического распределения Гиббса для идеального газа.

 

Распределение молекул идеального газа по координатам и скоростям (распределение Максвелла – Больцмана)

 

Согласно (4. 236) распределению Больцманав любом потенциальномполе n концентрациямолекул идеального газа распределяeтся в соответствии с их Wp потенциальнойэнергией в этом поле.

Число (рис. 04. 2.0.28) dN молекул, попадающих в пределы элементарного dV = dxdydz объёма, расположенного в произвольнойточке пространства с координатами x, y и z, где их потенциальнаяэнергия имеет значение Wp, а n = n0 exp(-Wp/kT) концентрациямолекул в этом месте пространства рассчитывается по (4. 236) выражению, определяется следующим соотношением:

dN = n0 exp(-Wp/kT)dxdydz. (4.282) В соответствии с (4. 227) вероятность dP(x, y, z) нахождения (рис. 04. 2.0.28) молекул идеального газа в пределах dV = dxdydz объёма, т.е. нахождения координат этих молекул в интервале

xx + dx, y y +dy и z z+dz значений из (4.282) имеет следующий вид:

dP(x, y, z) = dN/N = (n0/N)exp(-Wp/kT)dxdydz ↔ dP(x, y, z)/dxdydz = f(x, y, z) = (n0/N)exp(-Wp/kT), (4.283) где N - полное число молекул в данной массе идеального газа; f(x, y, z) = (n0/N)exp(-Wp/kT)- функция плотностивероятности распределения частиц в потенциальном поле. Она численноравна

вероятностинахождениямолекул в единичномVобъёме пространства с x, y и z координатами, при которых потенциальнаяэнергия этих молекул идеального газа равна величине Wp(x, y, z); n0 - концентрация молекул идеального газа при выбранном начальномзначении x0 , y0, z0 координат. С другой стороны функция f(vX, vY, vZ) плотности вероятности распределения частиц по скоростям из (4.255), которая (рис. 04. 2.0.25) численно равна вероятности нахождения модуля vi вектораvi скоростей молекул в единичном прямоугольном объёме по направлению этого вектора vi скоростей молекул имеет

 

 

следующий вид: f(vX, vY, vZ) = (m/2πkT)3/2exp(-mv2/2kT), (4.284) где vi2 = viX2 + viY2 + viZ2- квадрат модулявектораvi скоростей молекул идеального газа. Cчитая (4.245)координаты молекул x, y и z по (рис.4.27) осям координат соответственно OX, OY и OZ и (4.246) проекции(рис. 04. 2.0.25) viX, viY и viZ на OvX, OvY и OvZ оси вектораvi скоростей молекулстатистически независимыми величинамисовместнаяплотность f(x, y, z, vX, vY, vZ)вероятностисобытия, которая численноравна вероятности нахождения молекул идеального газа

(рис. 04. 2.0.28) в единичномV объёме пространства с x, y и z координатами, где их потенциальнаяэнергия имеет значение Wp, и одновременного нахождения проекцийviX, viY и viZ на OvX, OvY и OvZ оси вектораvi скоростей молекулв (рис. 04. 2.0.25) единичномV объёмескоростей с vX, vY и vZ координатами по направлению этого вектора vi скоростей молекул, определяется произведением функции (4.283) f(x, y, z) плотности вероятности и функции (4.284) f(vX, vY, vZ) плотности вероятности. Поэтому эта совместнаяплотность f(x, y, z,vX, vY, vZ)вероятности с учётом (4.245), (4.246) имеет следующий вид:

f(x, y, z, vX, vY, vZ) = f(x, y, z) f(vX, vY, vZ) = (n0/N)(m/2πkT)3/2exp-{[Wp+ (mv2/2)]/kT }. (4.285)

Вероятность dP(x, y, z,vX, vY, vZ) совместного события- нахождение (рис. 04. 2.0.28) молекул идеального газа в интервале значений координат xx + dx, y y + dy и z z + dz с одновременнымнахождением (рис. 04. 2.0.25) проекцийviX, viY и viZ на OvX, OvY и OvZ оси вектораvi скоростей молекул в интервале значений vX…vX + dvX, vY…vY + dvY и vZ…vZ + dvZ по направлению этого вектора vi скоростей молекул с учётом (4.285) совместнойплотности f(x, y, z,vX, vY, vZ)вероятности имеет следующий вид: dP(x, y, z, vX, vY, vZ ) = dNс/N = f(x, y, z)f(vX, vY, vZ)dxdydzdvXdvYdvZ =

= (n0/N)(m/2πkT)3/2 exp{[-(Wp + mv2)/kT} dxdydzdvXdvYdvZ

↔ dNс= n0(m/2πkT)3/2exp-{[Wp+ (mv2/2)]/kT }dxdydzdvXdvYdvZ,(4.286) где vi2 = viX2 + viY2 + viZ2 - квадрат модуля скоростимолекул идеального газа; N - полное число молекул в данной массе идеального газа; n0 - концентрация молекул идеального газа при выбранном начальномзначении x0 , y0, z0 координат; dNс - число (рис. 04. 2.0.28) молекул идеального газа, находящихся в элементарном dV = dxdydz объёме, расположенном в произвольнойточке пространства с x, y и z координатами, с одновременным нахождением (рис. 04. 2.0.25) проекцийviX, viY и viZ на

OvX, OvY и OvZ оси вектораvi скоростей молекул в интервале значений vX…vX + dvX, vY…vY + dvY и vZ…vZ + dvZ по направлению этого вектора vi скоростей молекул.

В выражении (4.286), которое называется распределением Максвелла - Больцмана, функция f(x, y, z, vX, vY, vZ) = (n0/N)(mi/2πkT)3/2exp -{[Wp+ (mv2/2)]/kT } - этоплотность вероятности, которая численноравна вероятности (рис. 04. 2.0.28) нахождения молекул идеального газа в единичном

V объёме пространства с x, y и z координатами, где их потенциальнаяэнергия имеет значение Wp, и одновременного нахождения проекцийviX, viY и viZ на OvX, OvY и OvZ оси вектораvi скоростей молекулв (рис. 04. 2.0.25) единичномV объёмескоростей с vX, vY и vZ координатами по направлению этого вектора vi скоростей молекул.

КинетическаяWk энергии(4.32) из раздела 04. 1.0 "Физическая термодинамика" поступательного движения молекул идеального газа mi массой с vi модулёмвектораvi скоростей молекул этих молекул имеет следующий вид: Wk = mv 2/2 = m(vX 2 + vY 2 + vZ 2)/2.(4.287) Подставляем (4.287) в (4.286) и получаем функцию f(x, y, z, vX, vY, vZ)плотности вероятности распределения Максвелла- Больцмана, когда полная W энергия молекул идеального газа равна сумме потенциальной Wp энергии в (рис. 04. 2.0.28) произвольной точке пространства с x, y и z координатами во внешнем силовомполеи Wkкинетической энергиипоступательного движения молекул идеального газа с (рис. 04. 2.0.25) величинами проекцийviX, viY и viZ на OvX, OvY и OvZ оси вектораvi скоростей молекул по направлению этого вектора vi скоростей молекул, вследствие чего эта функция f(x, y, z, vX, vY, vZ)плотности вероятности распределения Максвелла - Больцманаимеет следующий вид: f(x, y, z, vX, vY, vZ) = (n0/N)(m/2πkT)3/2exp [-(Wp+ Wk )/ kT].(4.288)

Случайные отклонения значений параметров в системах, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, от их средних значений (равновесные флуктуации): средний квадрат флуктуаций кинетической энергии поступательного движения, внутреннейэнергии молекул идеального газа. Явления переноса в газах. Термодинамические потоки: определение и классификация. Тепловой поток: уравнение и коэффициент теплопроводности. Поток импульса: уравнение и коэффициент вязкости. Диффузионный поток: уравнение и коэффициент диффузии. Эффузия в разреженном газе. Условие равновесия для разреженного газа. Физический вакуум. Броуновское движение. Производство энтропии в необратимых термодинамических процессах.

 

Случайные отклонения значений параметров в системах, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, от их средних значений (равновесные флуктуации): средний квадрат флуктуаций кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа

 

Система, находящаяся в состоянии термодинамического равновесия, характеризуется определённым количеством значений её параметрови, в том числе, значением X параметра с его

<X> средним значением, которым может быть (4.1), (4.2) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"P давление, v0 удельныйобъем вещества, Tтемпература, (4.51) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика" внутренняяU энергия, (4.189) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"Sэнтропияэтой термодинамическойсистемы.

Флуктуации Xпараметра определяются как ΔXотклонениеэтого Xпараметра от его

<X> среднегозначения, вследствие чего для определения ΔXфлуктуации имеет место следующее выражение: ΔX = X - <X>. (4.289)

Положительные и отрицательные ΔXфлуктуацииравновероятны, поэтому при усреднении этих ΔXфлуктуацийпо измерению большого N количества одного и того же Xпараметранаходящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы для определения <ΔX>среднего значения N

флуктуаций имеет место следующее выражение: <ΔX> = ∑(Xi - <X>)/N = 0,(4.290)

i = 1

где Xi - i - ое измеренное значение Xпараметра находящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы; N - количество измерений Xпараметранаходящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы, проведённые, например, в разные моменты ti времени.

Для количественнойоценки ΔXфлуктуацийиспользуют с учётом (4.251) следующее выражение <ΔX2> среднегоквадрата флуктуаций Xпараметра: <ΔX2> = <(X - <X>)2> =

= <X2 - 2X<X> + <X>2> = <X2> - 2<X<X>> + <X>2 = <X2> - 2<X><X> + <X>2 = = <X2> - 2<X>2 + <X>2 = <X2> - <X>2, (4.291)

где <X2> - средний квадрат значения Xпараметра находящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы; <X>2- квадрат среднего значения Xпараметра находящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы.

Для количественнойоценки Δφ(X)флуктуацийлюбой φ(X) функции Xпараметра находящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы используют с учётом (4.289) следующее выражение < [Δφ(X)]2> среднегоквадрата Δφ(X)флуктуацийлюбой φ(X)функции Xпараметра:

<[Δφ(X)]2> = <[φ(X) - <φ(X)>]2> = <[φ(X)]2 - 2φ(X)<φ(X)> + <φ(X)>2> =

= <[φ(X)]2> - 2<φ(X)<φ(X)>> + <φ(X)>2 = <[φ(X)]2> - 2<φ(X)><φ(X)> + <φ(X)>2 = = <[φ(X)]2> - 2<φ(X)>2 + <φ(X)>2 = <[φ(X)]2> - <φ(X)>2, (4.292)

где <[φ(X)]2> - средний квадрат значения φ(X) функции Xпараметра находящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы; <φ(X)>2 - квадрат среднего значения φ(X) функции Xпараметра находящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы.

Наибольшее распространение для количественной оценки ΔXфлуктуаций Xпараметра и

Δφ(X) флуктуаций функции Xпараметра находящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы нашли следующие выражения среднеквадратичных флуктуаций:

(<ΔX2>)1/2 = (<X2> - <X>2)1/2; (<[Δφ(X)]2>)1/2 = (<[φ(X)]2> - <φ(X)>2)1/2, (4.293)

где (<ΔX2>)1/2 - среднеквадратичная флуктуацияXпараметранаходящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы; (<[Δφ(X)]2>)1/2- среднеквадратичная флуктуация

Δφ(X) функции Xпараметранаходящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы.

Выражения относительных среднеквадратичных флуктуаций имеют следующий вид:

(<ΔX2>)1/2/<X> = (<X2> - <X>2)1/2/<X>;

(<[Δφ(X)]2>)1/2/<φ(X)> = (<[φ(X)]2> - <φ(X)>2)1/2/<φ(X)>, (4.294)

где (<ΔX2>)1/2/<X> - относительная среднеквадратичная флуктуация Xпараметранаходящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы; (<[Δφ(X)]2>)1/2/<φ(X)> - относительная среднеквадратичная флуктуация Δφ(X) функции Xпараметранаходящейся в состоянии термодинамического равновесиясистемы.








Дата добавления: 2016-02-14; просмотров: 591;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.038 сек.