Статистическое описание равновесных состояний термодинамических систем: одно -, дву – и трехмерные функции распределения 2 страница

dP_{vX, vY, vZ} = dN/N = f(v)dv_Xdv_Ydv_Z. (4.248) Приравниваем правые части (4.247) и (4.248), т.к. левые части этих выражений равны, и получаем следующее выражение: f(v) = f(v_X) f(v_Y) f(v_Z) ↔ lnf(v) = lnf(v_X) + lnf(v_Y) + lnf(v_Z). (4.249) Продифференцируем правую и левую части (4.249) выражения по переменной v_iX - проекции на Ov_X осьвектораv_i скоростей молекул, используя "цепное правило" дифференцирования сложной функции, вследствие чего имеет место следующее выражение: {∂[lnf(v)]/∂[f(v)]}[∂f(v)/∂v] (∂v/∂v_X) = = {∂[lnf(v_X)]/∂[f(v_X)]}[∂f(v_X)/∂v_X](∂v_X/∂v_X) ↔ [1/f(v)][∂f(v)/∂v](∂v/∂v_X) = [1/f(v_X)][∂f(v_X)/∂v_X]. (4.250) Поскольку v_i модульвектораv_i скоростей молекул (1.10) из раздела 01.0 «Физические основы механики» имеет вид: v_i = (v_iX² + v_iY² + v_iZ²)^1/2, то частная производнаяот этого v_i модуляпо переменной величине проекции v_iX на Ov_X осьвектораv_i скоростей молекул в (4.250) имеет следующий вид: ∂v/∂v_X = v_X /(v_X ²+ v_Y ²+ v_Z ²)^1/2 = v_X/v. (4.251) Подставляем (4.251) в (4.250), а также подставляем (4.246) f(v) = f(v_X) f(v_Y) f(v_Z) - функцию плотности вероятности, численноравнуювероятностиодновременного (4. 227) нахождениязначений

проекций v_iX, v_iY и v_iZ на Ov_X, Ov_Y и Ov_Z оси вектораv_i скорости молекул (рис. 04. 2.0.25) в единичном интервале значений, тоже в (4.250), вследствие чего получаем следующее выражение:

[1/f(v)][∂f(v)/∂v]/v =[1/f(v_X)][∂f(v_X)/∂v_X]/v_X ↔ [1/f(v_X) f(v_Y) f(v_Z)][∂f(v)/∂v]/(v_X ²+ v_Y ²+ v_Z ²)^1/2 =

= [1/f(v_X)][∂f(v_X)/∂v_X]/v_X, (4.252) где v_i = (v_iX² + v_iY² + v_iZ²)^1/2 - модульвектораv_i скоростей молекул.

Праваячасть равенства (4.252) не зависит от переменных проекций v_iY и v_iZ на Ov_Y и Ov_Z оси вектораv_i скоростей молекул, а зависит только от переменной величины проекции v_iX на Ov_X осьвектораv_i скоростей молекул. Левая часть (4.252) выражения, в которой присутствуют переменные

проекции v_iY и v_iZ на Ov_Y и Ov_Z оси вектораv_i скоростей молекул, вследствие равенства правойи левой частей, тоже не должна зависеть от этих переменных проекций v_iY и v_iZ на Ov_Y и Ov_Z оси

вектораv_i скоростей молекул. Это возможно в случае равенства левойи правойчастей

(4.252) выражения одной и той же константе, которую обозначим "-α", поэтому приравняем правую[1/f(v_x)][∂f(v_x)/∂v_x]/v_x часть (4.252) выражения "-α" постоянной величине, вследствие чего имеет место следующее выражение: [1/f(v_X)][∂f(v_X)/∂v_X]/v_X = -α ↔ [1/f(v_X)][∂f(v_X)/∂v_X]dv_X/dv_X = -αv_X ↔

↔ d[f(v_X)]/f(v_X)dv_X = - αv_X ↔ d[f(v_X)]/f(v_X) = -αv_Xdv_X ↔ ∫d[f(v_X)]/f(v_X) = - α∫v_Xdv_X ↔

↔ lnf(v_X) = -αv_X²/2 + lnA ↔ ln[f(v_X)/A] = -αv_X ²/2 ↔ f(v_X) = Aexp(-αv_X ²/2), (4.253) где A - постояннаяинтегрирования. Функции плотностивероятности f(v_Y) и f(v_Z) соответственно по Ov_Y и Ov_Z осям координат определяются аналогично (4.249), (4.250), (4.251), (4.252) и имеют следующий вид: f(v_Y) = A exp(-αv_Y ²/2); f(v_Z) = Aexp(-αv_Z ²/2). (4.254) С учётом трёхмерной(4. 228) функцииf(v) = f(v_X) f(v_Y) f(v_Z)плотности вероятности, представляющей собой произведение (4.253), (4.254) функций f(v_X), f(v_Y), f(v_Z) плотностивероятности и которая численно равна (рис. 04. 2.0.25) вероятности нахождения модуля v_i вектораv_i скоростей молекул в единичном прямоугольном объёме по направлению этого вектора v_i скоростей молекул, а также с учётом (4.251) значения модуля скорости молекул v_i = (v_iX² + v_iY² + v_iZ²)^1/2, выражение (4.246) принимает следующий вид: f(v) = f(v_X) f(v_Y) f(v_Z) = A³exp[-α(v_X ²/2)]exp[-α(v_Y ²/2)] exp[-α(v_Z ²/2)] =

= A³exp[-α(v_X ² + v_Y ² + v_Z ²)/2] = A³ exp[-αv²/2). (4.255) Постоянная A в (4.253), (4.254) и (4.255) определяется из условия нормировки, вследствие чего имеет место следующее выражение: ∞ ∞ A ∫ exp( -αv_X ²/2)dv_X = 1 ↔ A(2/α)^1/2∫exp(-t²)dt = 1, (4.256) -∞ -∞

где t = (α/2)^1/2v_X; dt = (α/2)^1/2 dv_X ↔ dv_X =(2/α)^1/2dt. Выражение (4.256) означает (рис. 04. 2.0.25) следующее: вероятность dP_X нахождения

v_iX проекций на Ov_X осьвектораv_i скоростей молекул в бесконечноминтервале значений скоростейпоэтойOv_X оси координат равна1.

Интеграл вероятностей в (4.256) выражении имеет следующее значение:∞

∫exp(-t²)dt = π^1/2. (4.257) -∞ Подставляем значение (4.257) интеграла вероятностей в (4.256) и определяем следующее выражение для A постоянной: A = (α/2π)^1/2. (4.258) Функция(4.253) f(v_X) - функция плотностивероятности, которая численноравна вероятности нахожденияпроекций v_iX на Ov_X ось вектораv_i скоростей молекул в единичном интервале значений скоростейпоэтойOv_X оси координат, c учётом значения (4.258) A постоянной принимает следующий вид: f (v_X) = (α/2π)^1/2exp(-αv_X ²/2). (4.259) Функции(4.254) f(v_Y) и f(v_Z) - функции плотностивероятности, которые численноравны вероятности нахождения проекций v_iY, v_iZ на Ov_Y и Ov_Z оси вектораv_i скоростей молекул в единичных интервалах значений скоростейпоэтимOv_Y и Ov_Z осям координат, c учётом значения (4.258)

A постоянной принимают следующий вид: f(v_Y) =(α/2π)^1/2exp(-αv_Y ²/2); f(v_Z) =(α/2π)^1/2exp(-v_Z ²/2).(4.260) Функция(4.255) f(v) плотностивероятности, которая численно равна вероятности нахождениямодуля v_i вектораv_i скоростей молекул в единичном прямоугольном V объёме по направлению этого вектора v_i скоростей молекул,с учётом значения (4.258) A постоянной принимает следующий вид: f(v) = f(v_X) f(v_Y) f(v_Z) ↔ f(v) =(α/2π)^1/2exp(-αv_X ²/2)(α/2π)^1/2exp(-αv_Y ²/2)(α/2π)^1/2exp(-αv_Z ²/2) ↔

↔ f(v) =(α/2π)^3/2 exp[-α(v_X ² + v_Y² + v_Z ²)/2] = (α/2π)^3/2exp[-αv²/2). (4.261) где v_i² = v_iX² + v_iY² + v_iZ²- квадрат модулявектораv_i скоростей молекул. Определимсреднее< v_iX ²> значение квадрата v_iX проекций на Ov_X осьвектораv_i скоростей молекул с использованием (4. 225) правила определения среднего< φ(x)> значенияφ(x) функции, которой в данном случае является среднее< v_iX ²> значение квадрата v_iX проекций на Ov_X осьвектора

v_i скоростей молекул, при известной (4.259)f (v_X) плотностивероятности этих v_iX проекций на Ov_X осьвектораv_i скоростей молекул, с учётом чего < v_X ²> среднеезначениеимеет следующий вид:

∞ ∞

< v_X ² > = ∫v_X ^2f(v_X)dv_X = (α/2π)^1/2∫v_X ²exp(-αv_X ²/2)dv_X = (α/2π)^1/2(2π/α³)^1/2 = 1/α. (4.262)

0 0 Средние< v_Y²>, < v_Z ²> значения квадратов проекций v_iY и v_iZ на оси Ov_Y и Ov_Z вектора

v_i скоростей молекул по аналогии с (4.262) выражением имеют следующий вид:

< v_Y ²> = 1/α; < v_Z ²> = 1/α. (4.263) Среднее<v²> значение квадрата модуля v_i² вектораv_i скоростей молекул или(4.33) из раздела

04.1.0 "Физическая термодинамика" квадрат среднейv_квквадратичной скорости молекул с учётом (4.262), (4.263) принимает следующий вид: <v²> = v_кв² = < v_X ² > + < v_Y ²> + < v_Z ²> = 3/α. (4.264) Приравниваем (4.264) среднее<v²> значение квадрата модуля v_i ² вектораv_i скоростей молекул и v_кв = (3kT/m_i)^1/2 выражение(4.33) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика" квадрата средней

v_квквадратичной скорости молекул и получаем следующее α значениеконстантывэтом (4.264) выражении: 3/α = 3kT/m ↔ α = m/kT, (4.265) где m - масса молекулы, k - постоянная Больцмана, а T - термодинамическаятемпература идеального газа.

Подставляем (4.265) α значениеконстантыв (4.262), (4.263), (4.264) и получаем следующие окончательныевыражения для (рис.4.25) функций f(v_X), f(v_Y) и f(v_Z) плотностивероятности проекций v_iX, v_iY и v_iZ на Ov_X, Ov_Y и Ov_Z оси вектораv_i скоростей молекул, а также получаем следующее окончательноевыражение функции f(v) плотностивероятности v_i модуля вектораv_i скоростей молекул по направлению этого вектора v_i скоростей молекул:

f (v_X) = (m/2πkT)^1/2exp( -mv_X ²/2kT); f(v_Y)=(m/2πkT)^1/2exp(-m v_Y ²/2kT); f(v_Z)=(m/2πkT)^1/2exp(-mv_Z ²/2kT); f (v) = (m/2πkT)^3/2 exp( -mv²/2kT). (4.266) C учётом окончательного(4.266)выражения для функции f(v) плотностивероятности v_i модуля вектораv_i скоростей молекул по направлению этого вектора v_i скоростей молекул, вероятность dP_v нахождения v_i модулей вектораv_i скоростей молекул в элементарном шаровом (рис.4.25) слое dV_v объёмом с внутренним и внешнимирадиусами соответственно v; v + dv имеет следующий вид: dP_v = f(v)4πv²dv = (m/2πkT)^3/2exp(-mv²/2kT) 4πv²dv = F(v)dv ↔ F(v) = dP_v/dv, (4.267) где F(v) = (m/2πkT)^3/2exp( -mv²/2kT)4πv² - функция (4. 243) плотности вероятности (4. 221), которая численно равна (рис.04.2.0.25) вероятности нахождения v_i модуля вектораv_i скоростей молекул в шаровомслое с внутренним радиусом, равным этомуv_i модулю вектораv_i скоростей молекул, и толщиной, равной единичному интервалу, например, находящихся в интервале v_i модулей вектораv_i скоростей молекул 500…501 м/с по всемвозможным направлениямэтих векторовv_i скоростей молекул.

Среднее <v> арифметическоезначениеv_i модулей вектораv_i скоростей молекул с использованием (4. 225) правила определения среднего< φ(x)> значенияφ(x) функции, которой в данном случае является v_i модуль вектораv_i скоростей молекул, при известной (4.267) функции F(v) плотности вероятности имеет следующий вид:

∞ ∞

<v > = ∫vF(v)dv =(m/2πkT)^3/24π∫ exp(-mv²/2kT)vdv = (8kT/πm)^1/2, (4.268) 0 0 где интегрированиепроизведено по частям с помощью ξ = v² подстановки; пределы интегрирования от 0 до ∞ соответствуют всем возможным значениям v_i модулей векторовv_i скоростей молекулидеального газа.

Функция (4.267) плотности F(v) вероятности, которая численно равна вероятности нахождения v_i модулей векторовv_i скоростей молекул в шаровомслое с внутренним радиусом, равным этомуv_i модулю вектораv_i скоростей молекул, и толщиной, равной единичному интервалу скоростей, по всемвозможным направлениямэтих векторовv_i скоростей молекул имеет максимумпри наиболее v_вервероятноммодуле этих векторовv_i скоростей молекул.

Взяв первую производнуюdF(v)/dvи приравняв её нулю, определим следующий наиболее v_вервероятныймодуль векторовv_i скоростей молекул:

dF(v)/dv|_v=vвер = exp(-mv_вер ²/2kT)(2 - mv_вер²/kT) v_вер = 0 ↔ v_вер = (2kT/m)^1/2, (4.269) Число dN_v молекул, имеющих v_i модуливектораv_i скоростей молекул(рис. 04. 2.0.25) и находящихсяв (4. 241) dV_v = 4πv²dvэлементарном шаровом слое с внутренним радиусом, равным

v_i модулю вектораv_i скоростей молекул, и толщиной этогошаровогослоя, равной dv элементарному приращению v_i модулей скоростейпо всемвозможным направлениямвекторовv_i скоростей молекул, c учётом (4.243) определяется следующим выражением: dN_v = NdP_v = Nf(v)dV_v = Nf(v)4πv²dv = NF(v)dv = N(m/2πkT)^3/2exp(-mv²/2kT) 4πv²dv, (4.270)где N - полное число молекул в данной массе газа, в которой измеряются v_i модульвекторовv_i скоростеймолекул; dV_v - объём (рис. 04. 2.0.25) элементарногошарового слоя v радиусоми dv толщиной. Выражение (4.270) называется распределениемМаксвелла молекул по скоростям.

На рис. 04. 2.0.26 представлена графическая зависимость (4.267) плотности F(v) вероятности, которая численно равна вероятности нахождения v_i модулей векторовv_i скоростей молекул

O₂ кислорода, имеющего T₁ = 300 К или T₂ = 600 К температуру, в шаровомслое с внутренним радиусом, равным этомуv_i модулю вектораv_i скоростей молекул, и толщиной, равной единичному интервалу скоростей, по всемвозможным направлениямэтих векторовvскоростей молекул

O₂ кислорода.

Соотношения (рис. 04. 2.0.26) между наиболее (4.269) v_вервероятныммодулём векторов

v_i скоростей молекул O₂ кислорода, средним (4.268) <v> арифметическимзначением модулей векторовvскоростей и средней(1.1) из раздела 1.0 "Физические основы механики"

v_квквадратичной скоростью этих молекул O₂кислорода определяется следующим выражением: v_вер: <v>: v_кв = (2)^1/2: (8/π)^1/2: (3)^1/2 = 1 : 1,13: 1,22. (4.271)

Результаты расчёта наиболее (4.269) v_вервероятногомодуля векторовv_i скоростей молекул

O₂ кислорода, среднего (4.268) <v> арифметическогозначения модулей векторовv_i скоростей и средней(4.33) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"v_квквадратичной скоростью этих молекул O₂кислородадля двухT₁ = 300 К и T₂ = 600 Ктемпературэтогогаза, принятого идеальным,приводятся в таблице.

Таблица: значения скоростей v_вер, <v>, v_кв и соответствующие этим скоростям F(v) плотности вероятности

Функция распределения по значениям кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа

Выражение v_i модуля вектораv_i нерелятивистской из раздела 03.0.0 "Релятивистская механика" поступательнойскорости i-ой молекулыидеального газачерез их W_ki кинетическую(4.32) из раздела 04.1.0 "Физическая термодинамика"энергию и m_i массу имеет следующий вид: v = (2W_k/m)^1/2 ↔ dv = (2mW_k)^-1/2dW_k. (4.272)Подставляем (4.272)в (4.270) и получаем dN_W число молекул идеального газа, кинетическая энергия которых заключена в интервале от W_k до W_k +dW_k, т.е. получаем следующеераспределениемолекул по значениям их W_kкинетических энергий:

dN_W = N(m/2πkT)^3/2exp(-mv²/2kT) 4πv²dv = N(m/2πkT)^3/2{exp[(-m2W_k/m)/2kT]}4π(2W_k/m)(2mW_k)^-1/2dW_k =

= N(m/2πkT)^3/2[exp(-W_k/kT)]4π[(2W_k)^1/2/m^3/2] = N[2π/(πkT)^3/2] [exp(-W_k/kT)] W_k^1/2dW_k, (4.273)

где N - полное число молекул в данной массеидеального газа, в которой измеряются W_kкинетическиеэнергиимолекул; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическаятемпература идеального газа.

Вероятность (4. 221) dP_W того, что W_kкинетическая энергия молекул идеального газа заключена в интервале от W_k до W_k +dW_k,равна отношению dN_W числа молекул идеального газа, кинетическая энергия которых заключена в этом интервале от W_k до W_k +dW_k, к полному N числу молекул в данной массеидеального газа, вследствие чего для определения вероятности dP_W с учётом(4.235)имеет место следующее выражение: dP_W = dN_W/N =[2π/(πkT)^3/2] [exp(-W_k/kT)] W_k^1/2dW_k. (4.274)

Функция (4. 221) плотности f(W_k) = dP_W /dW_k вероятностиW_kкинетической энергии молекул идеального газа, которая численно равна вероятности нахождения этой W_kкинетической энергии молекул в единичному интервале значений, например, находящихся в (6…7)10^-21Дж интервале, имеет с учётом(4.274) следующий вид: f(W_k) = dP_W /dW_k =[2π/(πkT)^3/2] [exp(-W_k/kT)] W_k^1/2. (4.275)

Экспериментальная проверка распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей молекул идеального газа (опыт Ламмерта)

Прямыеизмерения скорости атомовртути в пучке были выполнены в 1929 г.Ламмертом. Два (рис. 04. 2.0.27) 6 диска, насаженные на общую ось, имели радиальные3 прорези, сдвинутые одна относительно другой на φ угол. Напротив прорезей находилась 1 печь, в которой легкоплавкийметалл нагревался до высокой температуры. Разогретые7 атомыметалла, в данном случае ртути, вылетали из 1печи и с помощью 2 коллиматоранаправлялись в необходимом направлении. Наличие

2 коллиматора обеспечивало движение 7 атомов металла между быстро вращающимися с (1.19) из раздела 01.0 «Физические основы механики» ωциклической частотой 6 дисками по прямолинейной

4 траектории, параллельной их оси.

В установке Ламмертас целью увеличения интенсивностипрошедшего пучка в 6 дисках было сделано множество прорезей, которые для упрощения на рис. 04. 2.0.27 не изображены. Атомы

7 металла, пролетевшие через прорези в 6 дисках, регистрировали с помощью 5 детектора. Всю описанную установку помещали в глубокий вакуум.