ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ВРАЩАТЕЛЬНОГО

Поскольку любое движение тела можно представить как сумму двух движений:

поступательного со скоростью движения центра масс и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс, то важность изучения вращательного движения важна.

Рассмотрим движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Точки тела, лежащие на разных расстояниях от оси вращения, обладают разными скоростями, так как за одно время обходят окружности разной длины. Вместе с тем в заданный промежуток времени все точки поворачиваются на один и тот же угол. Поэтому движение удобно описывать с помощью угловых величин. Угловой скоростью называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения так, что из его конца видно вращение, происходящее против часовой стрелки. Линейная и угловая скорости связанны соответственно соотношением , где - расстояние точки, имеющей скорость от оси вращения. Для характеристики изменения величины угловой скорости будет введено понятие углового ускорения. Им называется вектор , равный по величине первой производной по времени от угловой скорости и направленный вдоль оси вращения. Если увеличивается (движение ускоренное), и направлены в одну сторону, если движение замедленное ( уменьшается) – в противоположную. Линейное ускорение и угловое ускорение связанны соотношением , где - расстояние точки, имеющей ускорение от оси вращения.

При действии на тело силы ее вращающее действие определяется не только величиной, но и расстоянием точки приложения силы от оси вращения. С этим связанна необходимость введения нового вектора – момента силы . Поясним это.

Пусть тело вращается под действием силы вокруг оси OO’ (рис. 1). Разложим эту силу на две составляющие: параллельную оси вращения , и перпендикулярную оси вращения .

Компонента силы не оказывают динамического действия на тело, т.е. не изменяют скорости его вращения, а лишь деформируют закрепленную ось вращения ОО'. Рассчитаем динамический эффект перпендикулярной компоненты силы. Для этого рассмотрим движение материальной точки

Вращающее действие , а, следовательно, и будет тем больше, чем больше величина . Поэтому естественно вращающее действие охарактеризовать произведением . Заменим ее значением из (1) . Но - это величина векторного произведения . И эта же величина характеризует вращательное действие силы . Таким образом, естественно ввести вектор в качестве характеристики вращательного движения силы . Этот вектор называется моментом силы относительно неподвижной оси, как явствует из определения он направлен вдоль оси вращения.

Так, моментом силы относительно неподвижной оси вращения OO' называется величина, равная векторному произведению составляющей силы , лежащей в плоскости перпендикулярной оси на лежащий в той же плоскости радиус- вектор, соединяющий точку пересечения оси с точкой приложения силы.

Из рис. 2 видно, что , где . называется плечом силы , то есть плечо – это перпендикуляр, опущенный из точки О на направление действия силы.

Если на тело действует несколько сил, то оно будет находиться в равновесии при условии, что алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения равна нулю.

В динамике поступательного движения инертность тела полностью характеризуется его массой. При вращательном движении инертность тела определяется моментом инерции , который зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения.

Для вращающейся материальной точки момент инерции определяется выражением:

(3)

где - расстояние точки до оси вращения.

Для системы, состоящей из материальных точек:

(4)

где - расстояние материальной точки до оси вращения.

Для сплошного тела сумма переходит в интеграл, и момент инерции определяется по формуле:

(5)

Момент силы , действует на тело, момент инерции и его угловое ускорение связанны соотношением:

, (6)

основной закон вращательного движения.

Из соотношения (5) ясно, что одно и то же тело может иметь бесконечно много моментов инерции и соответственно тело может иметь различную инертность в зависимости от выбранной оси вращения.

Просто вычисляется момент инерции интегрированием (соотношением (5)) для тел правильной геометрической формы, когда ось вращения проходит через центр масс.

Ниже даны моменты инерции двух тел правильной геометрической формы, знание которых необходимо при выполнении данной работы.

1. Момент инерции сплошного цилиндра (или диска) относительно оси

2. Момент инерции тонкого цилиндрического стержня длины относительно оси :

Момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, определяется по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и величины ; где - масса тела, а - расстояние от центра масс тела, до произвольной оси вращения:

(7)

Проверить закономерности вращательного движения и теорему Штейнера предлагается на маятнике Обербека.

Описание установки

Маятник Обербека состоит из четырех тонких стержней, укрепленных на горизонтальной оси под прямым углом друг к другу.

На эту же ось насажены два шкива радиусов и . Вся система свободно вращается вокруг горизонтальной оси. Изменение момента инерции системы осуществляется перемещением цилиндрических грузов вдоль спиц.

Момент сил определяется силой натяжения нити . Нить навивается на 1 из шкивов.

Сила натяжения нити направлена по касательной к поверхности шкива, поэтому вращающий момент силы равен:

(8)

Запишем второй закон Ньютона для груза , имеющего массу :

, (9)

где - ускорение несвободного падения груза. Так как сила натяжения , груз движется равноускоренно. Начальная скорость его равна нулю. Итак, можно подсчитать путь , пройденный в этом движении телом за время ; , откуда:

(10)

Используя соотношения (9) и (10) ( ), момент силы (формула 7), запишем в виде:

(11)

Ясно, что касательное ускорение точек поверхности шкива имеет то же ускорение , как и тело .

Из соотношения (1) и (10) имеем:

(12)

Формулы (11) и (12) позволяют проверить основной закон динамики вращательного движения:

Порядок выполнения работы

Задание 1

1. Измерить диаметры малого и большого шкивов и с помощью штангенциркуля, результаты измерений занести в таблицу.

2. Закрепить на концах стержней цилиндрические грузы так, чтобы маятник находился в состоянии безразличного равновесия.

3. Намотать нить на шкив большого и малого диаметра (по указанию преподавателя). Подвесить груз и измерить его высоту над полом.

4. Измерить секундомером время падения груза. Повторить опыт не менее трех раз. По формуле (12) определить , а затем найти .

5. Повторить опыт, описанный в пункте 4, для пяти-шести грузов с различными массами.

6. Результаты эксперимента предоставить в виде графика, по оси ординат отложить угловое ускорение маятника , а по оси абсцисс – величины момента сил , вычисленные по формуле (11).

7. Определить по графику момент инерции системы , который будет равен 1/tgα, где α угол наклона функции к оси абсцисс (M).

8. Повторить опыты, описанные в пунктах 3,4,5, при новом значении момента инерции системы, переместив цилиндрические грузы на середину стержней. Построить график и определить, как указанно в п. 7 новое значение момента инерции .

9. Убедиться в справедливости соотношения при , для этого по двум полученным графикам для одинаковых значений определить и .

10. Убедиться в справедливости соотношения при , для этого по двум полученным графикам для одинаковых значений определить и .

Находятся ли результаты эксперимента в согласии с формулой (6)? Укажите возможные причины ошибок эксперимента.

Задание 2

1. Убедиться в справедливости теоремы Штейнера, сравнив полученное из опытов (п. 7 задания 1) значения момента инерции с теоретическим значением:

, (13)

где - расстояние центров цилиндрических грузов массой от оси вращения, - длина цилиндрических грузов, - их диаметр, - длина стержней (обязательно посмотрите рис. 3), их масса, - момент инерции дисков. Масса грузов указана на установке, а так же масса и длина стержней.

2. Вычислить относительную погрешность определения момента инерции .

3. Вычислить абсолютную погрешность .

4. Записать окончательный результат в виде: