Пространство элементарных событий

В этой лекции мы изложим теоретико-множественный подход к основным понятиям теории вероятностей. Пусть проводится некоторый эксперимент со случайным исходом. Результатом эксперимента всегда является один и только один исход из полной группы несовместных событий. Каждый такой исход называют элементарным событием (или элементарным исходом) и обозначают буквой w. Совокупность всех элементарных событий, которые могут появится в эксперименте, называют пространством элементарных событий и обозначают буквой W.

В теоретико-множественной трактовке любое событие А представляет собой некоторое подмножество А={w} пространства элементарных событий W. Событие А происходит или нет в зависимости от того, принадлежит или нет подмножеству А элементарное событие w, представляющее исход данного опыта. Таким образом, событие А есть подмножество множества W, состоящее из элементарных исходов w, которые благоприятствуют событию А. Поэтому, в дальнейшем, не будем делать различий между событием А и соответствующим подмножеством АÌW.

Среди событий, являющихся подмножеством множества W, можно рассмотреть и само множество W; оно называется достоверным событием. Ко всему пространству W еще добавляется пустое множество Æ; это множество тоже рассматривается как событие и называется невозможным событием.

Для математической формализации модели случайного эксперимента требуется в первую очередь построить пространство элементарных событий W. Однако поскольку понятие «элементарный исход» строго не определено, то задача построения пространства элементарных событий допускает несколько решений. На практике построение такого множества осуществляется из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента однозначно описывались на основе построенного множества.

Пример 2.1. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании один раз игральной кости. Обозначим через X число выпавших очков. Построить пространство элементарных событий W и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={X кратно3}, B={X – нечетно}, C={X < 7}, D={X > 7}.

Решение. Очевидно, что за элементарные события здесь лучше всего взять события: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, которые образуют полную группу несовместных событий. При помощи этих элементарных событий можно легко описать все перечисленные в задаче события:

A={3;6}, B={1;3;5}, C=W, D=Æ.

Отметим, что при решении вероятностных задач построение пространства элементарных событий играет большую роль. Если это пространство построено удачно, то решение задач может значительно упроститься; в противном случае она может представлять значительные трудности или даже вообще не будет найдено. Так, в рассматриваемой задаче за элементарные события можно было бы взять события: w₁={X – четные}, w₂={X – нечетные}, которые также образуют полную группу несовместных событий, т.е. пространство элементарных событий. Однако тогда перечисленные в задаче события невозможно было бы описать.

Алгебра событий

Поскольку при теоретико-множественном подходе к теории вероятностей события отождествляются с множествами, то над событиями можно совершать те же самые операции, что и для множеств. В частности:

Алгебра событий	Алгебра множеств
AÌB	событие А влечет за собой событие В	AÌB	множество А является подмножеством множества В
A=B	событие А тождественно событию В	A=B	равенство множеств
A+B	сумма событий, означающее, что произошло хотя бы одно из двух событий	AÈB	объединение множеств
A×B	произведение событий, означающее, что оба события произойдут одновременно	AÇB	пересечение множеств
A–B	разность событий, означающее, что произойдет событие А, но не произойдет событие В	A \ B	разность множеств, т.е. множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В
=W–A	противоположное событие, означающее, что событие А не произойдет	=W \ A	дополнение множества А до W

Если события А и В несовместны, то А×В=Æ; если события А₁, А₂, ..., А_k образуют полную группу, то А₁+А₂+...+А_k =W. В частности, противоположные события A и несовместны, т.е. А=Æ, и образуют полную группу, т.е. А+=W.

Действия над событиями становятся более наглядными, если придать им геометрическую интерпретацию в виде диаграмм Вьенна:


A+B	AB	A–B	B–A

Пример 2.2. Эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Обозначим через X сумму очков, выпадавших на обоих костях. Пространство элементарных событий такого эксперимента можно записать в виде W={2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}. Описать следующие события A+B, AB, A–B, B–A, если A={X кратно трем}={3;6;9;12}и B={X нечетно}={3;5;7;9;11}. Тогда

A+B={3;5;6;7;9;11;12},	A–B={6;12},
AB={3;9},	B–A={5;7;11}.

Пример 2.3. Пусть имеется колода карт, из которой вынимается одна карта. Описать события AB, B, A+B, A–B, если A={вынутая карта – туз}, B={вынутая карта – черви}.

Ответ:

AB={вынутая карта – червовый туз},

B={вынутая карта – червовая, но не туз },

A+B={ вынутая карта – либо туз, либо черви},

A–B={ вынутая карта –туз, но не черви}.

Пример 2.3. Пусть A, B, C – три события, наблюдаемые в некотором эксперименте. Используя алгебру событий, описать следующие события: а) произошло только событие А; б) произошло одно событие; в) произошло хотя бы одно событие.

Ответ:

а) ,

б) ,

в) A+B+C = .

Операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) события обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных операций над числами:

1а. A+B = B+A,	1б. AB = BA,
2а. A+(B+C) = (A+B)+C,	2б. A(BC) = (AB)C.

Это свойства коммутативности и ассоциативности. При этом, пустое множество Æ и само базисное множество W аналогичны нулю и единице, соответственно:

3а. A+Æ = A,

3б. AW = A.

Однако некоторые свойства не имеют аналогов в обычных операциях над числами; в частности:

4а. A+A = A,

4б. AA = A.

Это свойства идемпотентности. При введении операций всегда возникает вопрос, какая из двух операций больше "похожа" на сложение, а какая на умножение. Ответ на этот вопрос дают свойства дистрибутивности. Однако для алгебры событий (соответственно, и для алгебры множеств) удивительным образом выполняются оба свойства дистрибутивности:

5а. (A+B)C = AC+BC,

5б. (AB)+C = (A+C)(B+C).

В теоретико-множественной трактовке эти свойства выглядят более симметрично:

5а. (AÈB)ÇC = (AÇC)È(BÇC),

5б. (AÇB)ÈC = (AÈC)Ç(BÈC).

Эти равенства характеризуют принцип двойственности алгебры событий и показывают равноправие обоих операций. Так, если будет доказана истинность какого-либо тождества, то истинным будет и двойственное ему тождество, т.е. то, которое получается из данного взаимной заменой символов «+» и «×» (или «È» и «Ç»), а также Æ и W. Поэтому все приводимые равенства сгруппированы в пары. Запишем еще несколько свойств:

6а. (AB)+A = A,	6б. (A+B)A = A,
7а. A+ = W,	7б. A = Æ,
8. ` = A,
9а. `Æ = W,	9а. `W = Æ,
10а. A+W = W,	10б. AÆ = Æ,
11а. ,	11б. .	Законы де Моргана

Система подмножеств множества W, обладающая приведенными свойствами, называется булевой алгеброй. К булевым алгебрам относятся алгебра множеств, алгебра событий и алгебра логики.

Пример 3.4. Покажите, что события A, и образуют полную группу несовместных событий.

Решение. Покажем, что сумма данных событий образует достоверное событие. Используя законы де Моргана и другие свойства событий, получим:

Следовательно, данные события образуют полную группу. Чтобы доказать несовместность данных событий, найдем их попарные произведения:

Таким образом, данные в задаче события попарно несовместны. Следовательно, эти события образуют полную группу несовместных события, т.е. образуют пространство элементарных событий.

Дата добавления: 2016-03-10; просмотров: 3214;