ИЗГИБ. ПОНЯТИЕ ОБ ИЗГИБЕ.

Деформация изгиба возникает под воздействием нагрузок, действующих перпендикулярных к оси стрежня, а так же пар сил, действующих в плоскости, проходящей через ось стержня.

При изибе в поперечном сечении стержня возникают внутренние усилия: Q – поперечная сила, M - изгибающий момент.

Иногда в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент - это чистый изгиб.

Стрежни, работающие преимущественно на изгиб называются балками.

Если плоскость действия нагрузок совпадает с главной осью поперечного сечения, то такой изгиб называется прямым или плоским изгибом (см. рис. а) а если не проходит по главной оси поперечного сечения, то изгиб называется косым (см. рис. б).

Нанесем на боковой поверхности призматического стержня вертикальные линии и будем изгибать балку моментом М.

В результате деформации замечаем:

1) Плоское сечение до деформации остается плоским и после деформации (т.е. поперечное сечение не искривляется).

2) Расстояние между вертикальными линиями в верхней зоне балки уменьшается, а в нижней увеличивается, следовательно в верхней части возникает сжимающее напряжение, а в нижней растягивающие.

3) Поперечное сечение в верхней части увеличивается, а в нижней уменьшается.

Слой, где отсутствует нормальное напряжение называется нейтральным слоем, а пересечение нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной осью.

Опоры и опорные реакции.

1. Шарнирно-подвижная опора ( в ней возникает только вертикальная реакция)

2.Шарнирно-неподвижная опора.

В шарнирно-подвижной опоре возникает две реакции вертикальная и горизонтальная.

Примечание: направлять реакции можно в любую сторону (вверх, вниз, вправо, влево)

3. Жесткая заделка ( защемление)

Жесткая заделка препятствует линейным и угловым перемещениям. В ней возникают три реакции ( изгибающий момент М_А, вертикальная R_y и горизонтальная R_x реакции.

4.Неполное защемление (вертикальная реакция и изгибающий момент)

Статически определимые балки

Неизвестных реакций n=3

∑Мизг=0   уравнения статики у=3

Если число неизвестных n равно числу уравнений статики y, то система называется статически определимой. Неизвестные опорные реакции можно определить с помощью уравнений статики.

Статически неопределимые балки.

Если число неизвестных n больше числа уравнений статики, то это статически неопределимые балки.

n = 6 y = 3 л = n – y = 6 – 3 = 3 ( трижды статические неопределимая система л – число лишних связей n = 4 y = 3 л = 4 – 3 = 1 ( один раз статически неопределимая система) n = 5 y = 3 л = 5 – 3 = 2 (дважды статически неопределимая система)

Вычисление опорных реакции.

Пример 1.Определить опорные реакции.Составим уравнения равновесия:

(1) (2) (3)

- подставим в (2): ;

Проверка: : :

Пример 2.

∑МА=0 ; ;

Знак «-» показывает, что действительное направление реакции не совпадает с принятым.

Поперечная сила и изгибающий момент.

В поперечных сечениях балки возникает поперечная сила Q и изгибающий момент M.

Разрежем балку на расстоянии Х. Заменим действие отброшенной части (правой) внутренними усилиями Q и M; рассмотрим левую частьбалки. Q – поперечная сила - результирующая всех внутренних усилий алгебраически равна сумме всех сил, расположенных левее сечения. M – изгибающий моментрезультирующий момент всех внешних сил, численно равен алгебраической сумме моментов всех усилий, расположенных левее сечения. Составим уравнения равновесия для левой части:

→ →

∑М_сечХ=0; → → ;

Можно вместо левой части рассмотреть правую часть. Результат будет тот же, но с обратным знаком.

В связи с этим для того, чтобы в одном и том же сечении Q и M имели одинаковые знаки независимо от того какая часть рассматривается, примем следующее

ПРАВИЛО ЗНАКОВ(см. рисунок):

Поперечную силу будем считать положительной, если равнодействующая сила левее сечения направлена вверх, а правее сечения направлена вниз.

Изгибающий момент будет считаться положительным, если равнодействующий момент левых сил направлен по ходу часовой стрелки, а правых – против часовой стрелки.

Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.

Выделим из балки участок бесконечно малой длины так чтобы по границам этого участка и по самом участке сосредоточенные силы отсутствовали. Ввиду малости участка распределенную нагрузку примем равномерно распределенной . Составим уравнения равновесия: ; или

; ;

Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, получаем: или

Продифференцировав последнее выражение по Х, получаем: ; или

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Внутренние усилия Q и M зависятот координаты Х, поэтому удобно иметь графики зависимости Q и M от расстояния Х, эти графики называются эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюр Q и M рассмотрим на частных примерах.

Положительные изгибающие моменты будем откладывать в сторону растянутых волокон.

Пример 1.Построить эпюры Q и M. 1) Определяем опорные реакции: ; 2) Разбиваем балку на участки. Рассмотрим отдельные участки. 3) Участок 1: (рассекаем на расстоянии Х1) Участок 2: (рассекаем на расстоянии Х2) при при .

Пример 2.Построить эпюры Q и M.

1) Определим опорные реакции:

Проверка

,

Следовательно, опорные реакции определены верно.

2) Построим эпюры Q и M:

Участок I:

1)

2)

Участок II:

1)

2)

Участок III:

Идем справа налево Из подобия треугольников . находим:

1)

2)

3)

1) 2)

Контроль правильности построения эпюр Q и М