Геометрическая вероятность.

Рассмотрим на плоскости некоторую область W, имеющую площадь S_Wи внутри области W область D c площадью S_D. В области W случайно выбирается точка X. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область W. При этом попадание точки в область W - достоверное событие, в D – случайное. Предполагается, что все точки области W равноправны (все элементарные события равновозможны), т.е. что брошенная точка может попасть в любую точку области W и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие = {брошенная точка попадет в область D}.

Определение. Геометрической вероятностью события А называется отношение площади области D к площади области W, т.е. .

Замечание 1. Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области D и W обе линейные или объемные . Здесь - длина, - объем.

Замечание 2. Все три формулы можно записать в виде: , где - мера (длина, площадь, объем) соответствующей области.

Пример1. В круг радиусом R=1 равномерно бросается точка. Найдем вероятность события А, что эта точка попадет в круг радиуса r=1/2 с тем же центром.

Решение.

Пример 2. (Задача о встрече.) Два человека договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит (ели они не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает момент своего прихода.

Решение. Пусть х – время прихода первого, а у - второго. Возможные значения х и у: , которые на плоскости Оху определяют квадрат со стороной равной 60. Точки этого квадрата изображают время встречающихся. Тогда этот квадрат можно рассматривать как пространство . Все исходы W равновозможны, так как лица приходят наудачу. Событие А = {лица встретятся} произойдет, если разность между моментами их прихода по модулю будет не более 15 мин, т.е. . Неравенство , т.е. определяет область, заштрихованную на рисунке. Т.о., точки заштрихованной полосы есть исходы, благоприятствующие встрече. Тогда .

Пример 1. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

Решение. Пусть А = {среди 3 карт окажется хотя бы одна дама}.

1) А₁ = {среди 3 карт окажется ровно одна дама};

А₂ = {среди 3 карт окажется ровно две дамы};

А₃ = {среди 3 карт окажется ровно три дамы};

События - несовместные. Очевидно, что . Поэтому по аксиоме сложения . Общее число исходов для всех трех событий равно . Число исходов, благоприятных для событий , соответственно равно . Тогда

.

2) = {среди 3 карт нет ни одной дамы}; . Значит .