Проверка гипотезы о равенстве нескольких ковариационных матриц

2.8 Равенство ковариационных матриц в нескольких генеральных совокупностях является условием применения многих многомерных статистических методов. Например, вычисление T²-статистики Хотеллинга или нахождение единой матрицы W, описывающей внутригрупповую вариацию для дальнейшего ее использования в критерии Уилкса, опирается на предположение того, что внутривыборочная изменчивость во всех сравниваемых группах населения характеризуется сходными дисперсиями и ковариациями признаков.

В одномерном случае для подобных целей использовался так называемый критерий Бартлетта. Пусть в нашем распоряжении имеется k выборок с числами наблюдений в них N₁, N₂, N₃, ...,N_k. Для каждой из них по некоторому признаку X

- 29 -

были найдены средние квадратические отклонения s ₁, s₂, s₃, ..., s_k . Нулевая гипотеза заключалась в предположении того, что во всех генеральных совокупностях характерен сходный уровень изменчивости, а наблюдаемые по выборкам различия средних квадратических отклонений имеют случайный характер. Для проверки этого предположения использовалась величина

_{k k}

M = 2.3026 S N_i - k lg s² - S (N_i - 1) lg s_i² ,

^{i = 1 i = 1}

где дисперсия s² находилась усреднением с учетом объемов выборок

1 _k

s² = S (N_i - 1) s_i² .

_k ^{i = 1}

S (N_i - 1)

^{i = 1}

В дополнение к величине критерия Бартлетта вычислялся поправочный коэффициент

1 _k 1 1

C = S - + 1 ,

3(k - 1) ^{i = 1} N_i - 1 _k

S N_i - k

^{i = 1}

зависевший от объемов и числа выборок. Отношение M/C в случае справедливости предположения об однородности дисперсий имеет распределение c² с числом степеней свободы n = k - 1, что позволяло проверять обоснованность этого предположения.

2.9 В многомерной ситуации исходные данные выглядят следующим образом. Имеются k выборок с числами наблюдений N₁, N₂, N₃, ...,N_k . Для каждой из них по набору m признаков X₁, X₂, X₃, ...,X_m были найдены ковариационные матрицы S₁, S₂, S₃, ...,S_k. Необходимо проверить гипотезу о равенстве этих матриц в k генеральных совокупностях. Для этой цели используется многомерная форма критерия Бартлетта.

Вид самого критерия по существу не изменился по сравнению с одномерной ситуацией. Вместо значений дисперсий отдельного признака вводятся их многомерные аналоги - определители ковариационных матриц. Как мы видели в разделе 1.5, определитель ковариационной матрицы является так называемой обобщенной дисперсией, описывающей интегративную величину вариации набора признаков. Величина многомерного критерия Бартлетта находится по формуле

_{k k}

M = 2.3026 S N_i - k lg ½S½ - S (N_i - 1) lg ½S _i½ , (2.28)

^{i = 1 i = 1}

где ковариационная матрица S получается усреднением

- 30 -

1 _k

S = S (N_i - 1) S _i . (2.29)

_k ^{i = 1}

S (N_i - 1)

^{i = 1}

Вычисляется также вспомогательная величина-поправка

(2m² + 3m – 1) _k 1 1

C = 1 - S - , (2.30)

6(m + 1)(k - 1) ^{i = 1} N_i - 1 _k

S N_i - k

^{i = 1}

Для больших выборок C » 1. В случае, когда гипотеза о равенстве ковариационных матриц в k генеральных совокупностях справедлива, произведение MC имеет распределение c² с числом степеней свободы n = (k - 1)(m+1)m/2. Таким образом, по таблицам распределения c² следует для конкретного числа степеней свободы и уровня вероятности ошибки 1-го рода a (0.05, 0.01 и 0.001) найти критическое значение c²_o. При c² > c²_o можно считать, что предположение об однородности ковариационных матриц не согласуется с эмпирическими материалами, и закономерности вариации в k генеральных совокупностях различны. При c² < c²_o наличие достоверных различий ковариационных матриц остается недоказанным. Во многих пакетах компьютерных программ одновременно с нахождением значения критерия Бартлетта и величины c²_o находится P - вероятность ошибки 1-го рода, которая соответствует этой величине. Тогда при P < a (0.05, 0.01 и 0.001) можно сделать вывод об отсутствии однородности ковариационных матриц.

При использовании критерия Бартлетта необходимо помнить о том, что он весьма чувствителен к отклонениям от нормальности распределения признаков. В случае асимметричного распределения признаков, входящих в исследуемый набор, неоднородность ковариационных матриц может устанавливаться и в тех случаях, когда этого на самом деле нет.