Примеры решения задач. Пример 2.2.7. Вода (t = 20 °С) перетекает из резервуара А в резер­вуар В, давления на поверхности жидкости

Пример 2.2.7. Вода (t = 20 °С) перетекает из резервуара А в резер­вуар В, давления на поверхности жидкости, в которых одинаковы, (рис. 2.2.30). Соединительный трубопровод состоит из двух последова­тельно соединенных участков новых бесшовных труб (l₁ = 200 м, d₁ = 100 мм и l₂ = 50 м, d₂=80 мм), для обеих труб l _экв = 0,05l, h = 3м.

Определить расход воды.

Решение

Хотя вода - жидкость маловязкая (h = 10^-3 Па∙с, см. прил. 4), но квадратичная зона сопротивления сомнительна, так как мала эквивалентная шероховатость труб (∆ = 0,014 мм, см. прил. 1). Поэтому решаем задачу графоаналитическим способом.

Рис. 2.2.30.

1. Зададимся рядом значений Q и вычислим соответствующие этим значениям h_пот для каждого из участков, после чего суммируем их для каждого Q. Полученные результаты приведены ниже, где h_общ = h₁+h₂.

2. По выбранным значениям Q и вычисленным для них h_общ строим гидравлическую характеристику всего трубопровода.

3. Составив уравнение Бернулли для живых сечении, выбранных по уровням жидкости в резервуару получим:

4. Отложив на оси ординат величину H_д = 3 м, находим искомый расход Q = 5,15 дм³/с.

Убедимся, что предположение о квадратичном законе сопротивле­ния было бы ошибочным.

Проверка велась только по d_2, так как Re₂ > Re₁. Ответвления от основной магистрали могут быть замкнутыми (рис. 2.2.31, а) и разомкнутыми (рис. 2.2.31, б). Для замкнутых ответвлений (лупингов - от англ. «петля» - соединенный параллельный трубопровод) справедливы соотношения

(2.2.18) (2.2.19)

где Q_общ и h_общ - соответственно расход и потери напора на всей разветвленном участке. Следовательно, расход, проходящий через весь разветвленный участок, равен сумме расходов в отдельных ветвях (для рис. 2.2.30, Q_общ = Q₁ + Q₂), а потери напора для всего разветв­ления и в любой его ветви равны между собой.

При аналитическом способе решения задачи на основании анализа исходных данных предсказывается режим движения (для турбулентного движения также зона сопротивления). Затем, используя соотно­шение (2.2.18) и (2.2.19), определяют скорость (или расход) в каждой из ветвей, после чего находят потери напора в одной из них. Принятое предположение подтверждается проверочными расчетами.

Пример 2.2.8.По трубопроводу (см. рис. 2.2.31, а) перекачивается нефть (ρ = 900кг/м³, ν = 2·10^-4 м²/с с расходом Q = 50 дм³/с.

Рис. 2.2.31. Схемы сложных трубопроводов

а – трубопровод с замкнутым ответвлением (лупингом);

б – трубопровод с разомкнутыми ответвлениями

Определить относительное изменение потерь напора на участке А – B=5 км (d₁= 200 мм), если к нему подключить лупинг той же длины (d₂ = 260 мм). Трубы сварные новые, местными сопротивления­ми пренебречь.

Решение

1. Определим потери напора на участке A - B до подклю­чения к нему лупинга.

2. Найдем соотношение между Q₁ и Q₂, после подключения лупинга.

Режим движения в трубах должен остаться ламинарным, так как по формуле (2.2.18) Q₁ и Q₂, меньше Q.

Используя соотношение (1.2.19), с учетом ламинарного режима имеем:

или, проведя сокращения и заменив υ₁ на Q₁, а υ₂ на Q₂ получим (можно было сразу воспользоваться формулой Пуазеля):

, откуда

3. Определим Q₁ и Q₂ и проверим правильность предположения о ламинарном режиме движения.

откуда

Предположение о ламинарном течении подтвердилось.

4. Определим потери напора во всем разветвлении через потери напора в лупинге. По формуле Пуазеля

5. Вычислим относительное изменение потерь напора

Следовательно, после подключения лупинга потери напора на участке А-В уменьшились почти в 4 раза.

При графоаналитическом способе решения строят гидравличес­кие характеристики для каждой из параллельных ветвей и, исходя из соотношений (2.2.18) и (2.2.19), путем сложения абсцисс для ряда точек этих кривых, получают гидравлическую характеристику всего разветвленного участка. Для схемы трубопровода на рис. 2.2.31 такое построение показано на рис. 2.2.32.

При разомкнутом разветвлении из одного узла (точки соединения разветвляющихся участков трубопровода) решение задачи можно получить, если для каждой из ветвей составить уравнение Бернулли, выбрав сечения в их начале и конце. Например, для ветвей DE и DF (см. рис. 2.2.31, б), сходящихся в угле D, такие уравнения будут иметь вид:

и

Рис. 2.2.32. Характеристика сложного Рис. 2.2.33.

трубопровода, имеющего замкнутое

ответвление

Так как z_D и p_D в этих уравнениях общие, то, разрешив уравне­ния

относительно р_D/(pg) и приравняв, можно найти или расходы, идущие в каждую ветвь (Q_E и Q_F в данном примере, если известно Q = Q_E + Q_F), или, при заданных расходах, требуемые диаметры труб каждой из ветвей.

Пример 2.2.9. По временному трубопроводу (рис. 2.2.33) бензин (Q = 50 дм³/с, ρ = 740 кг/м³, v = 0,55·10^-6 м²/с) подается в стоян­ки для залива цистерн. От основной линии (АВ = l=2 км, d_AB = d = 200 мм) в узле В поток разделяется в линии ВС (l_ВС = l₁ = 100 м, d_BC = d₁ = 125 мм) и BD (l_BD = /₂ = 150 м, d_BD =d₂ = 150 мм). Все трубы сварные умеренно заржавленные, превышение точек С и D над горизонтальной осью трубы АВ: z_С = 10 м, z_D = 13 м.

Определить расходы бензина Q_C и Q_D и избыточное давление р_А, развиваемое насосом. Местными сопротивлениями и скоростными напорами пренебречь, конечное давление р_С и p_D атмосферное.

Решение

1. Для определения расходов Q_C и Q_D составим урав­нения Бернулли для участков между сечениями В - С и В - D

(2.2.20)

откуда h_BC = h_BD + (z_D – z_C). (2.2.21)

2. Определим расходы Q_C и Q_D.Так как жидкость течет мало­вязкая, а трубы имеют значительную шероховатость, предполагаем в обеих ветвях квадратичную зону сопротивления. В этом случае, выразив h_BС и h_BD по формуле Дарси-Вейсбаха, а значение λ — по формуле Шифринсона, уравнение (2.2.21) можно записать в виде

(2.2.22)

Подставив численные значения входящих в уравнение (2.2.22) вели­чин, получим 0,761Q²_C·10⁴ = 0,4362 Q²_D·10⁴ + 3. Отсюда, учитывая, что Q_C + Q_D = Q, окончательно имеем:

Q_C = 26,6 дм³/с, Q_D = 23,4 дм³/с.

Проверка показывает, что Re₁ = 4,96·10⁵ > 500d₁/Δ = 1,25·10⁵, a Re₂ = 3,64·10⁵ > 500 d₂/Δ = 1,5·10⁵ .

Следовательно, предположение о квадратичной зоне сопротивления оправдалось, и расходы Q_C и Q_D определены правильно.

3. Определим избыточное давление в точке В, т.е. р_Ви = р_B - p_а.
По уравнению (2.2.20) р_Bи = (h_BC + z_С)ρg или р_Ви = (h_BD + z_D)ρg.
Выбрав, например, первое выражение и записав

после числового решения получим р_Ви = 111,5 кПа.

4. Найдем избыточное давление, создаваемое насосом. Уравнение
Бернулли для участка между сечениями А и В имеет вид:

откуда, выразив и проведя соответствующие вычисления, получим: р_Аи = 342 кПа.

Задачу такого типа можно решить и графоаналитическим способом. Для этого, как обычно, сначала строятся характеристики отдельных вет­вей. Но, учитывая, что нивелирные отметки и конечные давления в разных ветвях могут быть различными, начальные точки характеристик (при Q = 0) откладываются на оси на высоте h от начала координат, соответствующей сумме z_i + p_i/(ρg). Здесь z_i - превышение конеч­ной точки ответвления над начальной; p_i избыточное давление в ко­нечном сечении ответвления. Сумма z_i + p_i/(ρg) выражает дополни­тельный напор, затрачиваемый на подъем жидкости и преодоление ко­нечного давления. Для задач типа примера 2.2.9, где p_C = р_D = p_a такое смещение равно z_C и z_D (рис. 2.2.33).

Для трубопроводов с разомкнутыми разветвлениями (типа рис. 2.2.31, б) наиболее сложно решаются задачи на определение диамет­ров труб участков по заданным расходам в них. В этом случае сначала выбирается магистраль (наиболее длинная и загруженная линия), напри­мер, линия АВDЕ. Последовательно суммируя уравнения Бернулли для промежуточных сечений этой линии, пренебрегая скоростными напора­ми, имеем:

откуда среднее значение гидравлического уклона

(2.2.23)

Решение

1. Выберем магистральную линию АBDF и найдем для нее среднее значение гидравлического уклона i_cp.

Уравнение Бернулли (без учета скоростных напоров) для этой линии имеет вид:

, или

Тогда

2.Определим в первом приближении и диаметр линии АВ и потери напора в ней.

Расход в этой линии

.

Предполагая режим движения ламинарным (высокая вязкость жидкости), используем формулу Пуазейля:

откуда

При этом

Предположение о ламинарном режиме движения нельзя считать подтвержденным, так как Re = Re_кр . Кроме этого, на участке АВ расход наибольший, а, следовательно, можно ожидать, что гидравлический уклон окажется больше среднего. Поэтому, для снижения значений Re и I, выбираем ближайший к найденному больший диаметр d_AB = 200 мм.

Тогда

При таком диаметре режим движения действительно ламинарный. Определим потери напора на участке АВ

а напор в точке B

3. Определим диаметр участка ВС. Предполагая по-прежнему, что режим движения ламинарным и зная, что h_BC = Н_B–Н_C = 15,5 – 67,7 = 8,5 м, получим:

При этом , т.е. предположение о ламинарном движении оправдалось.

Найденное значение диаметра соответствует имеющимся, поэтому уточнений не требуется.

4. Определим диаметр линии ВD. Аналогично п. 2 имеем:

Приняв d_BD = 150 мм, проверим движения:

,

т.е. решение правильное.

5. определим диаметр линии DE:

, т.е. решение правильное.

6. Определим диаметр линии DF:

Применим диаметр равным 125 мм

, т.е. решение правильное.

7. Проверим соответствие напора H_A потерям напора в магистрали H_маг

Расхождение между H_A и H_маг в 1%, решение задачи правильное.