Двоичная система счисления

В двоичной системе для записи любого числа используются всего два символа (две цифры), что хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем, имеющих лишь два устойчивых состояния. Как правило, в качестве символов в двоичной системе служат цифры 0 и 1. Иногда используются и другие термины: “включено – выключено”, “низкий – высокий уровень”, “знак – пробел”. Однако в любом случае речь идет о двух возможных состояниях. Каждой цифре числа, записанного в двоичной системе, так же как и в десятичной, присвоен определённый вес в соответствии с основанием системы и номером позиции этой цифры в числе. В двоичной системе основание Р равно 2. Тогда вес любого разряда (цифры) будет равен произведению символа разряда (0 или 1) на 2 в степени равной порядковому номеру разряда.

Значение веса каждой цифры, расположенной справа от точки, равно основанию двоичной системы, возведенной в отрицательную степень, соответствующей положению цифры в числе. Так вес первой цифры после запятой будет равен 2^-1, второй – 2^-2, третьей – 2^-3, четвертой – 2^-4, и т.д.

Выразим эти веса через десятичные дроби:

2^-1= 0.5, 2^-2 = 0.25, 2^-3 = 0.125, 2^-4 = 0.0625, 2^-5 = 0.03125, 2^-6 = 0.015625 и т.д.

В двоичной системе счисления даже небольшие числа занимают много позиций. Например:

101101,101₂ = 1 2⁵ + 0 2⁴ + 1 2³ + 1 2² + 0 2¹ + 1 2⁰, 1 2^-1+0 2^-2+

+1 2^-3 = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 45,625 ₁₀

т.е. двоичное число 101101,101 имеет такое же численное значение, что и десятичное число 45,625, но представлено девятью цифрами, что громоздко и неудобно в восприятии человеком.

Здесь и далее нижним индексом обозначается система счисления, в которой записано данное число; (101₂ – двоичное число, 101₁₀ – десятичное).