Дифракционная решетка. Дифракционная решетка представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которой нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) прямых равноотстоящих

Дифракционная решетка представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которой нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов одинаковой конфигурации. Таким образом образуется совокупность прозрачных и непрозрачных участков.

Рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей в непрозрачном экране. Пусть ширина каждой щели равна b, а непрозрачного участка а, период решетки — d=b+a. В решетке реализуется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, исходящих из каждой щели решетки при ее освещении.

Дифракционную (точнее дифракционно-интерференционную) картину наблюдают по методу Фраунгофера, т.е. в параллельных лучах, а практически Рис.3.9.4.

— в фокальной плоскости объектива (рис.3.9.4a).

Пусть плоская монохроматическая световая волна падает на решетку нормально. Каждая из щелей в отдельности давала бы в фокальной плоскости объектива дифракционную картину, показанную на рис.3.9.3. И такие картины от всех щелей в отсутствие когерентности точно накладывались бы друг на друга, независимо от их положения. Интенсивности при этом складывались бы, и мы получили бы при наличии N щелей дифракционную картину как от одной щели, но усиленную в N раз.

При освещении же решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется. Мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов.

Главные максимумы. В середину дифракционно-интерференционной картины когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна A₁, а число щелей в решетке N, то результирующая амплитуда A и соответствующая ей интенсивность I будут определяться формулами

Такой же результат получается и при углах дифракции , для которых оптическая разность хода D колебаний от соседних щелей (рис.3.9.4б) равна целому числу длин волн:

m = 1, 2, … (3.9.4)

где знаки «±» следуют из симметрии дифракционной картины относительно нормали к решетке ( = 0): при знаке плюс угол > 0, а при знаке минус - угол < 0.

В направлениях , определяемых этим уравнением, возникают максимумы, интенсивность которых в N² раз превосходят интенсивность от каждой щели в том же направлении. Их называют главными максимумами m-го порядка, а уравнение (3.9.4) — условием главных максимумов. Именно главные максимумы и представляют особый практический интерес. Как мы увидим далее, они получаются тем более узкими и резкими, чем большее число N штрихов содержит решетка.

Интерференционные минимумы. Для выяснения дальнейших деталей фраунгоферовой дифракционной картины воспользуемся векторной диаграммой, которая позволит легко найти и результирующую амплитуду A колебаний, приходящих в произвольную точку P фокальной плоскости объектива (рис.3.9.5).

Векторная диаграмма в нашем случае пред-

ставляет собой цепочку векторов-амплитуд Рис.3.9.5.

когерентных колебаний, приходящих в точку P

от каждой из N щелей: A₁, A₂,..., A_N (рис.3.9.5a). По модулю эти векторы одинаковы, и каждый следующий отстает от предыдущего (или опережает, это не существенно) по фазе на один и тот же угол g. Этот угол связан с оптической разностью хода D соответствующих лучей от соседних щелей при нормальном падении света на решетку соотношением:

(3.9.5)

где d — период решетки.

Теперь проследим, как будет вести себя эта цепочка векторов (а значит и ее замыкающая A) при удалении точки P от фокуса F, т. е. с ростом угла дифракции .

Ясно, что при этом будет увеличиваться разность фаз g между колебаниями от соседних щелей, и цепочка векторов будет постепенно закручиваться. Первый раз она замкнется и вектор A обратится в нуль, когда угол Ng станет равным 2π — это непосредственно видно из рис.3.9.5б.

При дальнейшем росте угла , а значит, разности фаз g и Ng, цепочка будет периодически то распрямляться (главные максимумы, А = макс), то замыкаться (интерференционные минимумы, А = 0). Последнее будет происходить при значениях угла Ng кратных 2π:

(3.9.6)

где m’ принимает целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ... , при которых цепочка распрямляется, и мы получаем главные максимумы.

Подставив в (3.9.6) значение g из формулы (3.9.5), получим:

(3.9.7)

Это выражение представляет собой условие для интерференционных минимумов (при целочисленных значениях m’, кроме 0, N, 2N, ...). Оно же содержит и условие (3.9.4) для главных максимумов (при m’ = 0, N, 2N, ...). Между двумя соседними главными максимумами расположены N – 1 интерференционных минимумов. А между последними, в свою очередь, — добавочные максимумы, интенсивность которых при достаточно большом числе N штрихов решетки пренебрежимо мала (она составляет не более 5% от интенсивности главных максимумов).

В отличие от условия (3.9.4), которое дает только положения главных максимумов, соотношение (3.9.7) позволяет определить и их угловую ширину. В самом деле, при переходе от главного максимума к соседнему минимуму (рис.3.9.6) m’ меняется на единицу, например от N до N + 1. Тогда при достаточно большом N угловую полуширину главного максимума 1-го порядка Рис.3.9.6.

можно найти, взяв дифференциал уравнения (3.9.7)

с учетом того, что m’ при этом меняется на единицу (dm’ = 1). Тогда , откуда

(3.9.8)

Обращает на себя внимание тот факт, что зависит не от d и N в отдельности, а от их произведения, которое есть не что иное, как ширина решетки h = Nd. С ростом угла дифракции ширина главных максимумов увеличивается. Главные максимумы будут тем уже, чем больше ширина решетки h и меньше угол дифракции .

Теперь выясним, что означает утверждение, например, «угловая ширина главного максимума мала». По сравнению с чем? Ответ достаточно очевидный: величину надо сравнивать с угловой шиной Dd между соседними главными максимумами. Если « Dd, мы говорим, что главные максимумы узкие (резкие). Оценим отношение этих двух величин. Значение соответствует изменению m’ в (3.9.7) на единицу, но таких значений m’ между двумя соседними главными максимумами оказывается N. Считая, что на каждый интервал dm’ = 1 приходится одно и то же значение (для оценки), приходим к выводу, что в N раз меньше, чем Dd. Итак, резкость главных максимумов пропорциональна числу штрихов решетки (более точный расчет приводит к тому же результату).

Таким образом, с помощью условий (3.9.4) и (3.9.7) мы можем установить не только положения главных максимумов, но и их угловую ширину (резкость). Остается решить вопрос об их интенсивности. Рассмотрим его сначала качественно.

Прослеживая поведение векторной диаграммы по мере увеличения угла дифракции , мы оставили без внимания тот факт, что при этом каждый вектор цепочки по модулю будет уменьшаться, ибо он определяется дифракцией от каждой щели. Результирующий вектор при закручивании цепочки будет сначала уменьшаться и в дальнейшем вести себя аналогично тому, как показано на рис3.9.3 зависимости I от sin .

Следовательно, кроме интерференционных минимумов, необходимо иметь в виду и дифракционные минимумы, определяемые условием (3.9.1), т. е.

где b — ширина каждой щели.

При этом условии все векторы цепочки обращаются в нуль, значит и результирующая интенсивность в этих направлениях всегда должна быть равна нулю. Даже в том случае, если этому направлению соответствует главный максимум m-го порядка.

Интенсивность главных максимумов. Распределение интенсивности в дифракционно-интерференционной картине проще всего получить с помощью векторных диаграмм (рис.3.9.5 и 3.9.2). В итоге получим следующее выражение:

(3.9.9)

где, напомним,

Полученный результат (3.9.9) графически представлен на рис.3.9.7 как зависимость интенсивности дифракционной картины от синуса угла дифракции . Как видим, интерференция многих пучков привела Рис.3.9.7.

к резкому перераспределению интенсивности света, обусловленному дифракцией от каждой щели.

Первая дробь в выражении (3.9.9) представляет собой плавную функцию от sin (она показана пунктиром на рисунке и отражает дифракционное распределение интенсивности от каждой щели). Эта плавная функция модулирует многолучевую интерференционную картину от N щелей, которую описывает вторая дробь в формуле (3.9.9).

Практически наиболее важными являются главные максимумы, попадающие в центральный дифракционный максимум от каждой щели — они являются наиболее интенсивными.