Элементы внутренней симметрии кристаллов

Кристаллическая решетка, как совокупность бесконечного множества атомов, периодически расположенных в пространстве, более сложна, чем пространственно-ограниченная фигура.

Система считается симметричной, если после какого-либо симметричного преобразования она полностью совпадает сама с собой. Внешняя симметрия является, таким образом, лишь частным случаем симметрии внутренней. Системе бесконечного множества периодически расположенных частиц присущи все элементы симметрии, рассмотренные выше, например, плоскости симметрии m₁, m₂, m₃ (рис.1.4) и др. В ней можно выделить и новые элементы симметрии. Такими являются: ось трансляции, плоскость скользящего отражения и винтовые оси.

Ось трансляции - это важнейший элемент внутренней симметрии. При одном симметричном преобразовании перенос осуществляется на расстояние, которое равно промежутку между ближайшими идентичными атомами на оси трансляции, т.е. на величину вектора трансляции t₁, t₂, t₃ или t₄ (рис.1.4). Операция бесконечного количества смещений из каждой данной точки в направлении и на величину вектора трансляции t – называется трансляцией. Все возникающие при этом точки расположены идентично. Для кристалла трансляция заключается в параллельном переносе всей системы по направлению оси.

Следующим элементом внутренней симметрии является плоскость скользящего отражения. Действие, соответствующее ему, состоит из отражения в плоскости и переноса, параллельного этой плоскости. Это, например, преобразование точки А в А¢¢ на рис.1.4, где след плоскости скользящего отражения n показан пунктиром.

Рис.1.4. Элементы симметрии в решетке кристалла.

Плоскости скользящего отражения обозначаются буквами a, b, c, d, n в зависимости от направления переноса. Если вектор переноса направлен вдоль ребра элементарной ячейки a (b или с), то соответственно плоскость скользящего отражения обозначают буквами a (b или с). Если перенос осуществляется вдоль диагонали грани элементарной ячейки, то плоскость скользящего отражения обозначится буквами d (вектор переноса равен 1/4 диагонали) или n (вектор переноса равен 1/2 диагонали).

И, наконец, последний элемент внутренней симметрии это винтовые оси. Действие, отвечающее этому элементу, включает в себя поворот около оси и перенос вдоль этой оси (рис.1.5). Винтовые оси могут быть двойными, тройными, четверными, шестерными. Общее их обозначение n_s , где n - порядок оси, показывающий, на какую часть окружности повернута система в процессе симметричного преобразования;s- индекс указывает направление поворота. Если s=1, то имеем правую винтовую ось; при s=n+1 имеем левую винтовую ось. Так, приведенная на рис.1.5 правая винтовая ось соответствует 4-му порядку, т.е. 4₁.

Из рисунка видно, что если бы величина переноса вдоль винтовой оси не была равна 1/n части периода I, то атом 1 не попал бы в положение 1¢¢¢¢ и симметрия системы нарушилась бы. Поэтому величина трансляции всегда равна 1/n-ой части периода атомного ряда вдоль соответствующей винтовой оси.

Рис.1.5. Винтовая ось 4-го порядка.