Эквивалентная замена индуктивно связанных цепей

Часто для упрощения расчетов часть схемы заменяют эквивалентной схемой без индуктивных связей. Такой приём ещё называют развязкой индуктивных связей.

Рассмотрим эквивалентную замену для схемы, приведённой на (рис. 4.8). Здесь токи и одинаково ориентированы относительно одноимённых зажимов, поэтому включение катушек согласное.

Запишем выражение для напряжений между выводами 1,3 и 2,3:

; (4.20)

. (4.21)

Верхние точки «+» относятся к согласному включению катушек, а нижние - к встречному. Далее этот порядок будет сохраняться.

Согласно первому закону Кирхгофа имеем:

. (4.22)

Выразив из этого равенства токи и и подставив их, соответственно, во: второе и первое уравнения (4.20 и 4.21), получим:

;

.

Причем:

.

Эти уравнения справедливы для схемы показанной на (рис. 4.9а,б), которая и является искомой эквивалентной схемой без индуктивных связей.

Таким образом, при устранении индуктивной связи к сопротивлениям и добавляется ( , верхний знак «-» - при согласном включении, нижний знак «+» - при встречном включении катушек), а между узлами появляется элемент .

Если две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 4.10а), то при замене на эквивалентную схему без индуктивной связи получается схема, показанная на (рис. 4.10б).

В данном случае катушки соединены согласно.

Трансформатор - это устройство с двумя или более обмотками для преобразования напряжения. Обмотка, присоединённая к источнику называется первичной, соединённая с нагрузкой - вторичная.

На (рис. 4.11) изображена схема для магнитно-связанных катушек в режиме трансформатора.

Для этой схемы по второму закону Кирхгофа для первичного и вторичного контуров можно записать:

(4.23)

где

Построим векторную диаграмму для первичной и вторичной цепей. Зададим для этого вектор тока . Отложим векторы , , , и (рис 4.12), причем примем , то есть (рис. 4.12). Соединив конец вектора с началом векторной диаграммы, получим, как следует из второго уравнения 4.23, вектор . Разделив напряжение на , определим значение тока . Вектор отложим под углом (в сторону опережения) к вектору . Затем построим векторы , и

.

,

где ;

;

;

.

Сопротивления и называют вносимыми (из второго контура в первый) активными и реактивными сопротивлениями.

С помощью эквивалентной замены индуктивно связанных катушек цепь на (рис. 4.11) можно представит в виде цепи, изображенной на (рис. 4.13).

Если при любых сопротивлениях нагрузки отношение первичного и вторичного комплексных токов равны друг другу и равны постоянному действительному числу, то есть трансформатор называется идеальным.

. (4.24)

Число n называется коэффициентом трансформации идеального трансформатора.

Найдём входное сопротивление со стороны первичных выводов:

. (4.25)

То есть оно в раз больше сопротивления . Аналогичным путём можно показать, что

. (4.26)

Эти отношения характеризуют трансформацию сопротивлений. Если вторичные выводы разомкнуты, то , если они замкнуты, то .

Если коэффициент трансформации , то трансформатор повышающий, - понижающий.

ГЛАВА 5 РАСЧЁТ ТРЁХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Основные понятия и определения

Объединение в одной линии электропередачи нескольких цепей переменного тока с независимыми источниками электроэнергии называется многофазной системой.

Наибольшее распространение получила трёхфазная система, которая была изобретена и разработана выдающимся русским инженером М. О. Доливо-Добровольским в 1889-1891гг.

Трёхфазные симметричные системы Э.Д.С. получаются с помощью трёхфазного генератора, в котором имеются три самостоятельные обмотки, расположенные на статоре, и сдвинутые относительно друг друга в пространстве на 120⁰. В центре статора вращается магнит (рис. 5.3). Форма магнита такова, что магнитный поток, пронизывающий каждую катушку, изменяется по синусоидальному закону. Тогда по закону электромагнитной индукции в катушках будут индуцироваться Э.Д.С. равной амплитуды и частоты, отличающиеся друг от друга на 120⁰ .

; (5.1)

; (5.2)

. (5.3)

Комплексы действующих значений этих Э.Д.С.:

Следующий порядок чередования Э.Д.С. называется прямой последовательностью фаз, а чередование называется обратной последовательностью фаз.

В дальнейшем при рассмотрении трёхфазных систем принимается прямая последовательность фаз, которая считается нормальной.

5.2 Основные схемы соединения трёхфазных цепей

Существуют различные способы соединения обмоток генератора с нагрузкой, но в целях экономии обмотки трёхфазного генератора соединяют в звезду или в треугольник.

При соединении в звезду концы обмоток генератора объединяются в одну точку О, которая называется нулевой, или нейтральной (рис. 5.4).

Ниже приведены схемы соединения трёхфазного генератора с трёхфазной нагрузкой по схеме звезда: звезда с нулевым проводом (рис.5.5); звезда без нулевого провода (рис. 5.6).

· Точку, в которой объединяют три конца трёхфазной нагрузки при соединении её звездой, называют нулевой точкой нагрузки и обозначают О’.

· Провода, соединяющие точки А, В, С генератора с точками а,b,с нагрузки, называют линейными.

· Нулевым проводом называют провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки

_· Линейными токами I_л называют токи текущего линейным проводам (их обозначают , , )

_· Фазным напряжением U_ф называют напряжение между началом и концом фазы или между линейным и нулевым проводом (их обозначают ).

· Линейным напряжением U_Л называют напряжение между двумя линейными проводами ( их обозначают ).

· Фазные и линейные напряжения связаны между собой выражениями

. (5.4)

В симметричной системе фазных напряжений система линейных

напряжений тоже симметрична: равны по величине

и сдвинуты относительно друг друга на 120⁰ (рис. 5.7).

Действующее значение линейных напряжений легко определяется по векторной диаграмме (рис.5.7) из треугольника, например АОВ:

. (5.5)

Таким образом, получим общее соотношение между линейными и фазными напряжениями в симметричной системе

. (5.6)

При соединении звездой в точках перехода из генератора в линию и из линии в нагрузку нет разветвлений, поэтому фазные и линейные токи одинаковы между собой в каждой фазе:

. (5.6)

Запомните: соотношения , справедливы только в звезде.

При соединении обмоток генератора треугольником конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй с началом третьей, конец третьей- с началом первой. (рис. 5.8)

Геометрическая сумма Э.Д.С. в замкнутом треугольнике равна нулю (рис. 5.8). В отличие от соединения звездой, где в большинстве случаев применяется четырёхпроводная система, здесь используется три провода (рис. 5.9).

Соотношения между фазными и линейными токами легко можно определить, если для каждой узловой точки применить первый закон Кирхгофа:

; (5.7)

При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы: линейные токи сдвинуты относительно фазных токов на 90⁰ (рис. 5.10).

Действующее значение линейных токов определяется по векторной диаграмме (рис.5.10) из треугольника, например АОС:

. (5.8)

Таким образом, получим общее соотношение между линейными и фазными токами

. (5.9)

Из схемы (рис.5.9) видно, что фазные и линейные напряжения совпадают:

. (5.10)

Запомните: соотношения ; справедливы только для треугольника.

5.3 Методы расчета трёхфазных цепей

Трёхфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока и поэтому расчёт их проводят теми же методами, что и для синусоидального тока.

Аналитический расчёт трёхфазных цепей рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, что облегчит нахождение углов между токами и напряжениями, поможет найти ошибки при расчёте.

Соединение звездой

Нагрузка в трёхфазной цепи может быть:

· симметричной, если сопротивления фаз нагрузки одинаковы по характеру и значению;

· несимметричной, если сопротивления фаз нагрузки различны.

Если нужно учесть сопротивления линейных проводов и фаз источника их можно отнести к нагрузке, прибавив к сопротивлениям последнего по правилам сложения комплексных чисел.

Наиболее удобным методом расчёта в данном случае является метод узлового напряжения:

. (5.11)

Напряжения на фазах нагрузки:

. (5.12)

Токи в фазах:

, , . (5.13)

Ток в нулевом проводе: . (5.14)

Для узловой точки 0 или 0’ справедливо также уравнение по первому закону Кирхгофа:

. (5.15)

Уравнение (5.15) можно использовать как проверочное.

На рис. 5.12 изображена векторная диаграмма цепи.

При наличии сопротивления в нулевом проводе (Z_N 0) нулевая точка приёмника на векторной диаграмме не совпадает с нулевой точкой источника.

Из формулы 5.9 видно, что симметрия фазных напряжений на нагрузке, когда U_N=0, достигается в двух частных случаях.

1. При симметричной нагрузке, когда комплексы проводимостей фаз равны .

По этой причине ток в нулевом проводе равен нулю, и необходимость в этом проводе отпадает. Поэтому электроснабжение симметричных приёмников осуществляется по трёхпроводной системе.

2. В четырёхпроводной системе, когда сопротивление нулевого провода равно нулю.

Нулевой провод является уравнительным. Посредством его потенциалы нейтралей источника и приёмника принудительно уравнены, а поэтому звезда векторов фазных напряжений приёмника точно совпадает со звездой фазных напряжений источника.

При несимметричной нагрузке обрыв нулевого провода вызывает значительное изменение токов и фазных напряжений, что в большинстве случаев недопустимо.

Поэтому в нулевой провод предохранители не устанавливаются. Порядок расчёта трёхфазной цепи при соединении звездой, описанный выше, пригоден и при отсутствии нулевого провода.

При симметричной нагрузке необходимость расчёта всех трёх фаз отпадает. Достаточно провести расчёт одной фазы.

При известном линейном напряжении фазное напряжение определим по формуле 5.6:

.

Фазный ток, равный линейному

. (5.16)