Дополнительная тема. Уравнения Максвелла для стационарных электрического и магнитного полей
В случае стационарных (то есть неменяющихся во времени) электрического и магнитного полей, происхождение которых связано с покоящимися зарядами для электрического поля и со стационарными токами для магнитного поля, эти поля являются независимыми друг от друга, что позволяет рассматривать их отдельно друг от друга.
Уравнения Максвелла – это система уравнений, описывающих природу происхождения и свойства электрического и магнитного полей.
Уравнения Максвелла для стационарных полей:
I. ; II. ;
III. ; IV. .
Рассмотрим каждое уравнение в отдельности.
I. , то есть циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру L равна нулю.
Циркуляцией вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру L называется интеграл
.
Для того, чтобы найти циркуляцию вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру L, необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контур L на элементы , для каждого элемента рассчитать величину (a – угол между векторами и ), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.
Однако для электростатического поля циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру L может быть легко получена из формулы работы, совершаемой силами электростатического поля при перемещении пробного заряда q0по произвольному замкнутому контуру L.
С одной стороны, эта работа равна:
,
а с учетом того, что эта работа равна: .
С другой стороны, эта работа равна нулю, что следует из формулы работы:
, так как для замкнутого контура .
Тогда и циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L тоже равна нулю, то есть: .
Величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для циркуляции вектора примет вид:
.
II. , то есть поток вектора смещения электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов q (q – заряд, являющийся источником электростатического поля).
Вектор электрического смещения определяется следующим образом:
.
Вектор электрического смещения введен для характеристики электростатического поля, так как модуль вектора , в отличие от модуля вектора напряженности , не изменяется при переходе из одной диэлектрической среды в другую.
Используя то, что в вакууме , теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поляможет быть записана следующим образом:
,
то есть поток вектора смещения электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов.
III. , то есть циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов I, охватываемых этим контуром L (I – стационарный ток, являющийся источником постоянного магнитногополя).
УравнениеIIIдляциркуляции вектора напряженности магнитного поляследует из теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции .
Циркуляцией вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L называется интеграл: .
Для того, чтобы найти циркуляцию вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контур L на элементы , для каждого элемента рассчитать величину (a – угол между векторами и ), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.
Однако согласно теореме о циркуляцию вектора циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром L:
, где
n – число проводников с токами, охватываемых контуром L. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему, а отрицательным – ток противоположного направления.
Величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для циркуляции вектора примет вид:
.
Магнитное поле претерпевает изменения при переходе из одного вещества в другое, что определяется магнитными свойствами вещества, которые характеризуются величиной магнитной проницаемости среды ( m ). Поэтому, кроме вектораиндукции магнитного поля, учитывающего магнитные свойства вещества, для описания магнитного поля введен также и векторнапряженности магнитного поля, причем для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности :
,
где m0 – магнитная постоянная, m – магнитная проницаемость среды.
Поскольку для вакуума m = 1 , то с учетом приведенного соотношения может быть получена циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру L в следующем виде:
,
то есть циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром L.
IV. , то есть поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю (теорема Гаусса).
Векторные характеристики электростатического поля и , используемые в уравнениях Максвелла, связаны между собой следующим соотношением:
,
где – электрическая постоянная, e – диэлектрическая проницаемость среды.
Векторные характеристики магнитного поля и ,используемые в уравнениях Максвелла, связаны между собой следующим соотношением:
,
где – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды.
Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 866;