Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не⁺) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия U(r) взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z= 1),

U(r) = - , (34.11)

где r— расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис.34.1. U(r) с уменьшением r при приближении электрона к ядру неограниченно убывает. Рис.34.1.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера:

ΔΨ + (Е + )Ψ = 0, (34.12)

где m — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. Такие уравнения имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии

Е= - (п=1,2,3…) (34.13)

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е_1, Е_2,, Е₃ — показаны на рис. в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энергии, основной, все остальные (Е_n>Е₁, п=2, 3, ...) — возбужденные. При Е<0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п=∞ Е_∞=0. При Е>0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е>0 (заштрихована на рис.34.1) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

Е_i = -Е₁ = =13,55 эВ. (34.14)

Выражение совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.