Фазовая скорость бегущей волны

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е.:

. (22.9.)

Продифференцировав выражение (22.9), и сократив на ω получим .

Откуда

, (22.10)

где υ – скорость распространения волны в уравнении (22.10) есть скорость перемещения фазы волны и называется фазовой скоростью.

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн.

Аналогичными рассуждениями выведем уравнение сферической волны – волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер:

, (22.11)

где r –расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

В случае сферической волны, даже в среде не поглощающей энергию амплитуда колебаний не остается постоянной, а изменятся по закону 1/r. Уравнение (22.11) справедливо лишь для r значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае записывается волновым уравнением- дифференциальным уравнением в частных производных:

, (22.12)

где υ – фазовая скорость,

- оператор Лапласа.

Тогда уравнение (22.12) можно записать

. (22.13)

Решением уравнения (22.12) является уравнение любой волны (плоской или сферической). Соответствующей подстановкой моно убедиться что уравнению (22.13) удовлетворяют решения для плоской волны (22.8) или (22.11) для сферической волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение принимает вид:

. (22.14)