Схемы интегрирования и дифференцирования

Схема интегратора может строиться как на основе инвертирующего, так и на основе неинвертирующего усилителя. На рис. 2.16, а показана схема интегратора на основе инвертирующего усилителя.

В цепи обратной связи вместо резистора включается конденсатор. Как известно, конденсатор заряжается током, который на основании двух допущений (см. рис. 2.14, а) равен

.

Как известно из основ электротехники, ток, заряжающий конденсатор, определяется производной от разности напряжений на его обкладках, т.е.

,

а учитывая первое допущение (U_A = 0):

.

Приравняв оба выражения для тока I_C, получим

.

Интегрируя это выражение, получим

.

Таким образом, выходное напряжение схемы пропорционально интегралу от входного напряжения. Значения сопротивления и емкости определяют постоянный коэффициент схемы интегрирования, что можно объяснить и с чисто физических соображений. Чем больше R и С, тем меньше ток, заряжающий конденсатор, и тем больше величина его емкости, поэтому заряд конденсатора, а следовательно, и выходное напряжение будут нарастать медленнее.

Чтобы иметь схему, обеспечивающую вычисление интеграла с высокой степенью точности, используют усилители с малыми входными токами и дрейфом напряжения смещения нуля, высокоточные резисторы и конденсаторы с малыми токами утечки.

Поменяв местами сопротивление и конденсатор в интеграторе (рис. 2.16, а), получим схему дифференцирования (рис. 2.16, б). Ток конденсатора (с учетом, что U_A = 0)

,

а ток в цепи обратной связи по закону Ома

.

Согласно второму допущению эти токи можно считать равными, т.е.

,

откуда

.

Таким образом, выходное напряжение в схеме пропорционально первой производной от входного напряжения.

Рис. 2.16. Схемы интегрирования (а) и дифференцирования (б)

Многие задачи описываются простыми дифференциальными уравнениями. Такие задачи можно решить, реализуя исходное дифференциальное уравнение с помощью аналоговых интегрирующих схем и измеряя установившееся выходное напряжение. Обычное дифференциальное уравнение — это зависимость функции у и ее производных от переменной х. Например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит следующим образом:

.

Для решения уравнения производят замену переменной х на время t, т.е. x= t/τ. Тогда первая и вторая производные и равны

.

Путем таких преобразований дифференциальное уравнение приводится к виду, которое может быть реализовано на основе схем интегрирования:

,

или

.

Интегрируя левую и правую части уравнения, получим

.

Выражение, стоящее справа, реализуется с помощью интегратора. Обозначим его выходной сигнал переменой z, тогда

.

С использованием переменной z уравнение преобразуется к виду

.

Проинтегрировав обе части уравнения, получим

.

Правая часть этого уравнения, так же как и в предыдущем случае, реализуется с помощью интегратора. Его выходной сигнал соответствует функции –у. Сигнал z поступает с выхода предыдущего интегратора, а сигнал –k₁y — через обратную связь с собственного выхода.

Рис. 2.17. Аналоговая схема решения дифференциального уравнения

Таким образом, для реализации дифференциального уравнения второго порядка требуется два интегратора и один инвертирующий усилитель (рис. 2.17). Инвертирующий усилитель нужен для изменения знака сигнала с второго интегратора, формирующего –у. Выходной сигнал с этого усилителя с коэффициентом k₀ подается на вход первого интегратора.