Полный факторный эксперимент
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) наиболее прост в понимании и даёт наиболее полное представление об исследуемом объекте. В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий.
Под взаимодействием факторов понимают эффект влияния изменения значений одного (или нескольких) фактора на характер изменения функции отклика У от изменения другого фактора. Примеры отсутствия и наличия взаимодействия факторов Х1 и Х2 приведены соответственно на рис. 4.3а и рис. 4.3б. Видно, что в первом случае (отсутствие взаимодействия, см. рис. 4.3а) переход от Х2 = 400° к Х2 = 450° не меняет характер влияния первого фактора (Х1) на У. Наоборот, во втором случае (взаимодействие факторов имеет место, см. рис. 4.3б) изменение уровня фактора Х2 сказывается на наклоне линейной зависимости У(X1).
Рис. 4.3. Примеры отсутствия (а) и наличия (б) взаимодействия факторов X1 и Х2 [20]
При построении матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ), допустим, что в исследуемом процессе учитываются только два фактора Х1 и Х2, оказывающие влияние на интересующую нас функцию отклика Y. В соответствии с принципом «от простого к более сложному» предположим, что модель исследуемого процесса является линейной и в соответствии с (4.2) имеет вид
(4,3)
где bo - значение функции отклика У в центре плана; коэффициенты Ь1 и Ь2 характеризуют степень влияния 1-го и 2-ого фактора на функцию отклика У; член Ь12Х1Х2учитывает эффект влияния взаимодействия 1-го и 2-го факторов на функцию отклика исследуемого процесса, а коэффициент Ь12 характеризует весомость этого влияния.
Очевидно, что для получения линейной модели достаточно проводить варьирование значений фактора относительно его базового (начального) значения только на двух уровнях. Легко видеть, что все возможные комбинации для двух факторов (k = 2), варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта. Опытные точки расположатся в вершинах квадрата, центр которого совпадает с центром плана (см. рис. 4.5).
Рис. 4.5 Расположение экспериментальных точек для двух независимых факторов, варьируемых на двух уровнях [20]
Как видно, каждому из этих четырех опытов будет соответствовать свое значение функции отклика, в зависимости от четырех различных сочетаний (22 = 4) двух значений варьируемых в данном эксперименте факторов. Построим матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого случая, с учетом предполагаемой модели (4.3) исследуемого процесса.
При построении матрицы планирования ПФЭ обычно руководствуются следующими правилами:
- первая строка матрицы в столбцах, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам, заполняется безразмерным символом, соответствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте, т. е. символом (-);
- продолжение заполнения столбца, соответствующего первому по порядку фактору, проводится последовательным чередованием противоположных знаков (безразмерных значений уровней варьирования фактора);
- все последующие столбцы, соответствующие другим пронумерованным по порядку факторам, заполняются с частотой смены знака вдвое меньшей, чем для предыдущего столбца.
- нумерация факторов осуществляется произвольно и в каждом конкретном случае определяется самим исследователем.
- заполнение столбцов, учитывающих взаимодействие факторов, производится как результат перемножения знаков соответствующих факторов в каждой строке.
- первый столбец матрицы представляет собою нумерацию опытов;
- во втором столбце матрицы планирования приводятся значения фиктивной переменной Xо= + 1, соответствующей коэффициенту Ьо;
- в последующих столбцах матрицы приводятся безразмерные символы, соответствующие верхнему и нижнему уровням варьирования факторов и их взаимодействий;
- в последний столбец матрицы заносятся экспериментальные значения функции отклика, полученные в результате проведения каждого опыта.
Матрица планирования ПФЭ, построенная в соответствии с этими правилами, приведена в табл. 4.1. Так как матрица построена для случая, когда в эксперименте рассматриваются только два фактора (k = 2) на двух уровнях, то ее называют матрицей планирования ПФЭ типа 22.
Таблица 4.1 Матрица планирования ПФЭ типа 22
При обработке и анализе результатов эксперимента необходимо оценивать коэффициенты предполагаемой математической модели, представленной в нашем случае в виде полинома (4.3).
Для обеспечения независимости оценки коэффициентов полинома необходимо соблюдение независимости столбцов матрицы планирования эксперимента, или, иначе говоря, построенная матрица планирования должна быть ортогональной.
Матрица планирования эксперимента является ортогональной, если сумма произведений значений, приведенных в каждой строке двух любых столбцов матрицы, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам или их взаимодействию, равна нулю. Основываясь на этом определении, пересчитав суммы произведений, можно сделать заключение, что матрицы, приведенная в табл. 4.1, является ортогональной
Если в эксперименте используются три фактора, а предполагаемая математическая модель линейна, то она соответствует полиному вида
(4.4)
При варьировании каждым из трех факторов (k = 3) на двух уровнях число опытов N будет составлять N=23 = 8, а матрица планирования ПФЭ будет иметь вид, представленный в табл. 4.2.
Таблица 4.2 Матрица планирования ПФЭ типа 23
В этом случае опытные точки располагаются в вершинах куба, центр которого находится в начале координат (0,0,0) (см. рис. 4.6).
рис. 4.6 ?
Руководствуясь приведенным ранее правилом, легко построить матрицу и для большего числа рассматриваемых в эксперименте факторов, число опытов в которой , где k - число учитываемых в эксперименте факторов. (Выражение справедливо только для линейной модели, соответствующей полиному 1-го порядка(4.2), когда варьирование по каждому фактору достаточно проводить на двух уровнях.) Здесь опытные точки располагаются в вершинах k - мерного куба, расположенного в k - мерном факторном пространстве.
При планирования эксперимента существует правило - число уровней варьирования, учитываемых в эксперименте факторов, должно быть, по крайней мере, на единицу больше порядка полинома, для построения которого планируется эксперимент.Нами рассматривалось планирование эксперимента исходя из предположения, что математическая модель исследуемого процесса соответствует полиному 1-го порядка (линейна). Поэтому достаточно было проводить варьирование каждого из kфакторов только на двух уровнях.
При планировании ПФЭ, основанного на математической модели, например, соответствующей полиному 2-го порядка, который для двух факторов выглядит
, (4.6)
необходимо обеспечить варьирование по каждому из этихфакторов уже на трех уровнях. Тогда число опытов, которое необходимо провести в двухфакторном эксперименте, должно быть не меньше N = 32 = 9. Для полинома третьего порядка N = 42 = 16 и т. д. Таким образом, количество уровней варьирования располагается в основании степени. Влияние количества исследуемых факторов на число необходимых опытов определяется степенной зависимостью.
Отметим преимущества ПФЭ.
1. Опытные точки находятся в оптимальном положении, т. е. математическое описание исследуемого процесса оказывается более точным, чем при проведении опытов в точках, расположенных: каким-либо другим образом.
Поясним это утверждение. В многофакторном эксперименте (ПФЭ) расстояние между экспериментальными точками без увеличения интервала варьирования по каждой переменной увеличивается в √k раз (где К - число факторов) по сравнению с однофакторным экспериментом. Так, для двухфакторного эксперимента (рис. 4.5) - расстояние между экспериментальными точками - диагональ квадрата (√2), для трехфакторного эксперимента - диагональ куба (√3) и т. д.
2. Планирование и проведение ПФЭ сравнительно просто и доступно даже не слишком опытным исследователям.
3. Все факторы и соответственно коэффициенты полинома 1-го порядка оцениваются независимо друг от друга, что обеспечивается независимостью и ортогональностью столбцов матрицы планирования.
Проведение эксперимента должно обеспечить сведение к минимуму влияния случайных параметров исследуемого процесса, для чего необходимо придерживаться следующих требований:
- предусмотреть проведение нескольких параллельных опытов при одних и тех же условиях, предусмотренных соответствующей строкой матрицы планирования (номером опыта);
- рандомизировать неконтролируемые параметры процесса, т. е. обеспечить их взаимную компенсацию.
Для выполнения первого требования должно быть предусмотрено проведение не менее двух параллельных опытов (n= 2), а для более высокой достоверности результатов, их число увеличивают. В этом случае результаты nпараллельных опытов, например, для первой строки матрицы усредняются и при анализе результатов эксперимента используют именно усредненное значение функции отклика, подсчитываемое по формуле
, (4.7)
Для выполнения второго требования порядок реализации условий опыта (первый столбец матрицы) должен быть рандомизирован. (Термин «рандомизация» происходит от англ. слова random- случайный.) Она необходима, чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, приемами работы лаборанта и т.д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных матрицей эксперимента.
Опыты обычно рандомизируют во времени. Для этого перед непосредственной реализацией плана эксперимента с помощью таблицы случайных чисел определяется временная последовательность опытов.
Разбиение матрицы типа 2k на блоки.Если экспериментатор располагает сведениями о предстоящих изменениях внешней среды, сырья, аппаратуры и т.п., то целесообразно планировать эксперимент таким образом, чтобы эффект влияния внешних условий был смешан с определенным взаимодействием, которое не жалко потерять. Предположим, что имеются две партии изделий или режущих пластин одного типоразмера, поставленных разными производителями, изготовленных из различного сырья. В этом случае матрицу 23 можно разбить на два блока таким образом, чтобы эффект неоднородности партий сказался на величине трехфакторного взаимодействия. Тогда все линейные коэффициенты и парные взаимодействия будут освобождены от влияния неоднородности партий.
В такой матрице планирования в блок 1 будут помещены строки, для которых произведение факторов х1х2х3 = +1, а в блок 2 - все строки, для которых х1х2х3= -1. Различие в сырье можно рассматривать как новый фактор х4, тогда матрица 23, разбитая на два блока, будет представлять собой полуреплику 24-1. При расчете коэффициентов эффект сырья отразится только на подсчете свободного члена и эффекта взаимодействия второго порядка.
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 5106;