Способ последовательных приближений

Уравнения (5.57), (5.58) являются уравнениями двух гипербол. Уравнение (5.57) описывает гиперболу с действительной полуосью «b» параллельной оси «x» и центром, смещенным на –1 по оси «y» (рис.5.16).

(5.57)

Уравнение (5.58) описывает гиперболу с действительной полуосью «С»параллельной оси «Y» и центром, смещенным на –1 по оси «X»

(5.58)

Координаты точки пересечения этих гипербол являются корнями системы (5.57) (5.58). Решая эту систему методом последовательных приближений, задаемся первоначальным значением Х=Х0 и подставляя его в уравнение (5.58), находим приближенное значение Y=Y1. Подставляя значение Y1 в уравнение (5.57), находим более точное значение Х=Х1, которое в свою очередь подставляем в уравнение (5.58), определяя более точное значение Y=Y2. Эта операция повторяется до совпадения двух последующих значений с требуемой степенью точности.

На рис.4.15 стрелками показана схема сходимости к точному корню системы. Из уравнений (5.57) (5.58) и рис. 5.16 видно, что имеет смысл принимать первоначальное значение Х₀>b, а Y₀>c, что избавит от лишних вычислений.

Графический метод

Систему уравнений (5.57) (5.58) можно решить графически. Для этого, задаваясь произвольным значением «Y» (например 1,2,3 и т. д.) и подставляя его в равенство (5.57) находим значение «Х». По полученным данным строим гиперболу, описываемую уравнением (5.57).

Аналогично задаваясь произвольным значением «х» и подставляя его в уравнение (5.58) получаем значение «y» и строим гиперболу, описываемую уравнением (5.58). Координаты точки пересечения этих графиков и дадут решение системы.

Пример расчета

Заданы сопротивления ветвей простого диагонального соединения и общая депрессия соединения. Определить, расходы воздуха во всех ветвях соединения и сделать проверку полученного результата, используя второй закон расчета вентиляционных сетей

ДАНО:

R₁=0.8 km; R₂=0.12 km; R₃=0.2 km; R₄=0.36 km; R₅=0.45 km H=300 кг/м²

Определить; Q,q₁, q_2, q₃, q_4, q₅

Решение задачи

Определим направление движения воздуха в диагонали 2-3.

В нашем примере R₁/R₃=0.8/0.2=4.0, а R₂/R₄=0.12/0.36=0.33, следовательно

> и воздух в диагонали будет двигаться от узла 3 к узлу 2. В этом случае, необходимо изменить обозначения сопротивлений ветвей диагональногосоединения, так как показано на (рис.5.15).

Вычислим по равенствам (5.56) значения вспомогательных величин a,b,c,d.

a= =1.936 b= =0.75 c= =1.12 d= =1.5

С учетом полученных значений вспомогательных величин равенства (4.57) (4.58) можно записать в виде

x=0.75 (5.74)

y= 1.12 (5.75)

Систему уравнений (5.74) (5.75) решаем методом последовательных приближений. Задаемся первоначальным значением x=x₀=1.5 и из уравнения (5.75) определяем значение y₁=2.17. По уравнению (5.74) определяем значение x₁=1.44 и т. д. y₂=2.14, x₂=1.43, y₃=2.13. Дальнейшие вычисления не имеют смысла. Окончательно принимаем x=1.43, y=2.13

Так как, по условию задачи задана общая депрессия соединения, то для определения общего расхода воздуха и потоков воздуха в ветвях необходимо определить, общее сопротивление диагонального соединения по формуле (5.72)

R₀= km