Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример. Является ли однородной функция Решение.

.

Таким образом, функция является однородной функцией 3- го порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции и – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

Так как функция – однородная нулевого измерения, то

В силу произвольности параметра , положим . Получаем:

.

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Сделаем замену: , . Находим

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u:

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляя в исходное уравнение, получим:

Разделяя переменные, находим:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение: