Канонический вид квадратичной формы.
Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных и
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .
Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных и
,
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .
Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.
Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты .
Если задана квадратичная форма , то ее можно рассматривать как функцию от переменных и .
2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей . Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
где и координаты вектора в базисе . Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами и суть скалярное произведение .
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
.
При переходе к новому базису от переменных и перейти к переменным и . Тогда:
Следовательно, .
Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теорема. (Лагранжа).Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду.
С помощью невырожденного линейного преобразования приведем квадратичную форму к виду, в котором Все слагаемые, содержащие , соберем в одну скобку и дополним эту скобку до полного квадрата, получим
,
где оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму от неизвестных . Невырожденное линейное преобразование неизвестных
приводит квадратичную форму к виду
.
Повторив рассуждения, с учетом того, что последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований вновь невырожденное линейное преобразование, получим утверждение теоремы.
Пример. Приведите с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных к каноническому виду квадратичную форму .
Линейное преобразование приводит квадратичную форму к виду А линейное преобразование - к виду . Найдем сквозное линейное преобразование . Так как определитель матрицы линейного преобразования
равен – 2, то оно является невырожденным.
Ответ: невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к каноническому виду .
Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, а квадраты переменных входят с коэффициентами 1 или -1 или совсем не входят. После изменения нумерации переменных нормальный вид можно переписать в виде: сначала идут коэффициенты 1, затем -1, а затем нули,
.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 5888;