Загальні уявлення про математичні моделі

Математичною моделлю ММ якого-небудь об'єкта називається будь-яке формалізоване (записане за допомогою математичних, тобто умовних однозначно трактуємих символів) опис, що відображує стан або поведінку об'єкта з необхідним ступенем точності в заданих умовах.

Вимоги до математичних моделей: універсальність, економічність, точність.

Основними характеристиками моделі є тип робочого сигналу, спосіб представлення, характер залежностей, рівнянь, тощо.

За типом робочого сигналу розрізняють аналогові (безперервної дії) та цифрові (дискретні) моделі. З точки зору способів представлення моделей, можливо виділити аналітичні моделі як найбільш прості, алгоритмічні моделіяк найбільш точні й універсальні, табличні моделі як найбільш швидкі щодо витрат машинного часу на їхню обробку, але потребуючих великих обсягів пам'яті, еквівалентні електричні схеми, за яких складаються описуючі їх рівняння. За характером залежностей – лінійні та нелінійні і т.п.

Зазначені в табл. 1.1 моделі можна реалізувати на основі двох підходів — інформаційного і фізичного.

При інформаційному підході визначається лише перетворення вхідного сигналу у вихідний без вивчення внутрішніх фізичних процесів і без урахування фізичних законів збереження або рівноваги, що визначають або супроводжують це перетворення. У зв'язку з цим всі інформаційні моделі мають вигляд «чорного ящика» з односпрямованим проходженням інформації, для якого відома функція або алгоритм F перетворення вхідного сигналу x у вихідний у:у = F(х). Інформаційний підхід використовується при системному і функціональному проектуванні.

При фізичному підході моделі враховують реальні фізичні закони і використовуються в основному на схемотехнічному рівні.

Математичний опис електронних об'єктів на різних рівнях проектування

Схемотехнічний рівень. Досліджуючи властивості напівпровідникового тіла, в ньому можна виділити кінцеве число елементарних часток і, які можна представити електричними параметрами Ri і Ci. Характеристикою стану тіла замість поля, потенціалу і струму стане вектор V(t) падінь напруг і струмів I(t) через Ri і Ci, тобто математична модель перетворюється в еквівалентну електричну схему з зосередженими електричними параметрами R, L, C, Е, J, G, а відповідні їй рівняння перетворюються в систему ЗДР

,

де V, – вектори змінних та їх похідних, що описують електричний стан об'єкта.

Такі рівняння з заданими початковими умовами описують без-перервні процеси зміни станів у досліджуваному об'єкті, процес зміни струмів і напруг при подачі вхідних електричних сигналів або зміни параметрів зовнішнього середовища. Якщо досліджуються тільки сталі стани, то математична модель перетворюється в

F( V ) = 0.

Для рішення вищенаведених рівнянь використовуються чисельні методи інтегрування і рішення нелінійних алгебраїчних рівнянь.

На схемотехнічному рівні моделі компонентів аналогових і цифрових схем зображуються у вигляді еквівалентних електричних схем. Однак перехід до моделей верхніх ієрархічних рівнів для аналогових і дискретних компонентів здійснюється по різному.

Функціональний рівень. Моделі компонентів для функціонального проектування — це функції або алгоритми, що дозволяють за заданою формою вхідного сигналу Х_вх(t) або X_вх(w) знайти форму вихідного сигналу X_вих(t) або X_вих(w), де t - час, w - частота сигналу.

Для аналогової апаратури на функціональному рівні переходять до моделей і методів макромоделювання. Вони носять інформаційний характер, що виражається в наступному:

а) як елементи розглядаються частини електричних схем, ІМС, функціональні вузли;

б) використовуються змінні одного типу ( напруги U або струми I), які називаються сигналами;

в) поширення сигналу одностороннє від входу до виходу;

г) не враховується вплив навантаження на функціонування елементів.

Однак процеси розглядаються в безперервному часі зі збереженням безперервності змінних. Як правило, використовують математичний апарат ЗДР, чисельні методи, теорію САР, перетворення Лапласа, спектральний аналіз.

Проектування цифрових систем (КС, ПК, МП і т.д.) на функціональному рівні засновано на застосуванні дискретних математичних моделей, в яких виконана дискретизація змінних. При створенні дискретних математичних моделей застосовуються ті ж допущення, що і для аналогових математичних моделей (інформаційний підхід). Об'єкт, що моделюється, представляється сукупністю взаємозалежних логічних елементів, стан яких характеризує змінні, які приймають дискретні значення {0,1}, {0,Х,1}- тризначна логіка , {0,1,Х,h^­,e^¯}-п'ятизначна логіка і т.д.

Безперервний час t заміняється дискретною послідовністю моментів часу t_к, при цьому Δ t = t_к+1 – t_к – тривалість такту.

Моделі на функціональному рівні описуються або відповідними алгоритмами (моделі суматорів, АЛП, регістрів і т.д.), або булевими рівняннями, або таблицями істинності для вентилів. При цьому може враховуватися затримка вихідного сигналу.

Більшою математичною моделлю об'єкта є скінченний автомат СА (керуючий пристрій). Функціонування СА описується системою логічних рівнянь:

Z _к+1 = f₁ (Z _к , X _к),

Y _к = f₂ (Z _к , X _к),

де Z _к+1 , Z _к – вектори внутрішніх змінних об'єкта в моменти часу t_к+Δt та t_к відповідно;

X _к,Y _к - вектори вхідних і вихідних змінних в момент часу t_к..

Математичним апаратом, що використовується для аналізу цифрових пристроїв на функціональному рівні, є булева алгебра і теорія скінченних автоматів.

Системний рівень.Моделі компонентів для системного проектування вважаються ідеальними щодо виконання своїх функцій, тому що на системному (структурному) рівні найчастіше вивчаються лише характеристики структури (точність, надійність, продуктивність і т.д.), обумовлені тим або іншому способом з'єднання компонентів і їх складом, а не похибками в їх роботі.

На цьому рівні проектування ПК і цифрових систем (ЦС) переважно поширені моделі систем масового обслуговування (СМО). Для таких моделей характерно те, що в них відображаються об'єкти двох типів – заявки на обслуговування й обслуговуючі апарати (ОА).

При проектуванні ЦС заявками є задачі, а ОА – функціональні блоки системи (процесори, модулі пам'яті, комутатори та інші). Заявка може знаходиться в стані «обслуговування» або «очікування», а ОА в стані «вільний» або «зайнятий». Стан СМО характеризується станом її ОА і заявок. Зміна станів називається подією.

Моделі СМО використовуються для дослідження процесів, що відбуваються в цій системі при подачі на вхід потоку заявок. За результатами дослідження визначаються найбільш важливі вихідні параметри ВР: продуктивність, імовірність і середній час рішення задач, коефіцієнт завантаження устаткування і т.д.

Математична модель, яка відображує поведінку об'єкта в часі в термінах СМО при заданих зовнішніх впливах, називається імітаційною.

Конструкторсько-технологічний (технічний) рівень.На цьому рівні виконуються задачі компоновки і розміщення елементів і вузлів та їх друкованих чи провідникових з'єднань для конструктивних модулів всіх рівнів (елемент, блок, плата, шафа і т.д.). Тому тут використовується теорія графів та графові моделі.

Крім цих задач вирішуються задачі тепловідводу, електричної та механічної стійкості, захисту від зовнішніх впливів і т.п.

На цьому рівні випускають технічну документацію, потрібну для виготовлення і експлуатації системи і її складових частин.

На основі конструкторськоїдокументації виконується технологічна підготовка виробництва, яка забезпечує розробку технологічних процесів виготовлення окремих блоків і всієї системи в цілому.