Схемы активных фильтров 2-го порядка

Существует достаточно большое количество схем, реализующих передаточные функции фильтров 2-го порядка. Наиболее распространенными являются схема Рауха (схема на основе ОУ с многопетлевой обратной связью), схема Саллен-Ки (схема на основе источника напряжения, управляемого напряжением) и биквадратная схема.

5.4.2.1. Схема Рауха (схема на основе ОУ с многопетлевой
обратной связью)

Схема Рауха показана на рис. 5.28.

Рис. 5.28. Схема Рауха

Достоинство схемы – минимальное количество элементов
(1 ОУ, 5 пассивных элементов). Недостаток – ограничения по добротности и коэффициенту усиления:

ФНЧ: ; (5.16)

ФВЧ: ; (5.17)

ППФ: (5.18)

а)

б)

в)

Рис. 5.29. Фильтры 2-го порядка на основе схемы Рауха:
а) – ФНЧ; б) – ФВЧ; в) – ППФ

Для нахождения передаточной функции схемы рис. 5.28 составим систему уравнений для потенциалов φ₁ и φ₂:

Из (2) с учетом (3): (*)

Подставляем (3) и (*) в (1):

;

;

;

;

. (5.19)

После подстановки в передаточную функцию (5.19) схемы Рауха значений (5.16), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции полиномиального ФНЧ 2-го порядка:

.

Коэффициенты передаточной функции ФНЧ:

Схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: fc → R₃; → R₁ или R₂; k → R₂/R₁.

После подстановки в передаточную функцию (5.19) схемы Рауха значений (5.17), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции ФВЧ 2-го порядка с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

.

Коэффициенты передаточной функции ФВЧ:

Схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: fc → изменение R₁ и R₂ в равном процентном соотношении; Q → R₁ или R₂; k → С₁/С₂.

После подстановки в передаточную функцию (5.19) схемы Рауха значений (5.18), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции ППФ 2-го порядка с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

. (5.20)

Коэффициенты передаточной функции ППФ:

Схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: f₀ → R₂ и R₃ (в равном процентном соотношении); → R₂; k → R₁.

Реализация ПЗФ 2-го порядка на основе схемы Рауха, соответствующая структурной схеме, показанной на рис. 5.25, показана на рис. 5.30.

Рис. 5.30. Реализация ПЗФ 2-го порядка на основе схемы Рауха

Для нахождения передаточной функции схемы рис. 5.30, составим систему уравнений для потенциалов φ₁ и U_вых:

Схема на ОУ1 представляет собой ППФ на основе схемы Рауха, его передаточная функция W(p)_ППФ определяется выражением (5.20). С учетом этого уравнение (2) системы запишется в виде:

,

подставляем в (1):

.

После упрощения получаем:

.

При соблюдении условия ,

, (*)

передаточная функция схемы принимает вид:

.

Из полученного выражения можно определить коэффициенты типовой передаточной функции звена ПЗФ с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

Из (3) видно, что a = g. Следовательно, эта схема применяется исключительно для ПЗФ 2-го порядка или для звеньев ПЗФ 2-го порядка, имеющих ФНЧ-прототип 1-го порядка. Для таких звеньев ПЗФ справедливы соотношения [41]:

.

Задаваясь значениями емкости С₁» 10/f₀, мкФи сопротивления , из (1) – (3), с учетом (*), получим расчетные соотношения для остальных элементов схемы:

Регулировки схемы: f₀ → R₂ (без изменения добротности);
k → R₆.

5.4.2.2. Схема Саллен-Ки (схема на основе источника
напряжения, управляемого напряжением)

Схема Саллен-Ки показана на рис. 5.31.

Рис. 5.31. Схема Саллен-Ки

Достоинство схемы – высокое входное сопротивление.
Недостаток – ограничения по добротности и коэффициенту усиления:

(5.21)

(5.22)

(5.23)

а)

б)

в)

Рис. 5.32. Фильтры 2-го порядка на основе схемы Саллен-Ки:
а) – ФНЧ; б) – ФВЧ; в) – ППФ

Для нахождения передаточной функции схемы Саллен-Ки (рис. 5.31) составим систему уравнений для потенциалов φ₁ и φ₂:

Из (2):

Из (3):

Подставляем в (1):

После подстановки в передаточную функцию (5.24) схемы Саллен-Ки значений (5.21), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции ФНЧ 2-го порядка:

.

Коэффициенты передаточной функции ФHЧ:

Учитывая условие симметрирования ОУ: , получаем расчетные соотношения для элементов схемы:

Регулировки схемы: fc → R₁ и R₂ (в равном процентном соотношении); → R₁ или R₂; k → R₄/R₃.

После подстановки в передаточную функцию (5.24) схемы Саллен-Ки значений (5.22), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции ФВЧ 2-го порядка с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

.

Коэффициенты передаточной функции ФВЧ:

Учитывая условие симметрирования ОУ: , получаем расчетные соотношения для элементов схемы:

Регулировки схемы: fc → R₁ и R₂ (в равном процентном соотношении); → R₁ или R₂; k → R₄/R₃.

После подстановки в передаточную функцию (5.24) схемы Саллен-Ки значений (5.23), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции ППФ 2-го порядка с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

.

Принимая обозначение , запишем коэффициенты передаточной функции ППФ:

Для удобства примем μ=2.Учитывая условие симметрирования, дополнение к системе имеет вид:

Схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: f₀ → R₃; → R₂ или R₃; k → R₁.

Реализация ПЗФ 2-го порядка на основе схемы Саллен-Ки, требует использования схемы иной топологии, показанной на рис. 5.33.

Рис. 5.33. Реализация ПЗФ 2-го порядка на основе схемы Саллен-Ки

Из (3): , подставляем в (2):

(2’).

Из (1):

. (1’)

Подставляем (1’) в (2’) с учетом равенства:

. (*)

После упрощений получаем:

.

Из полученного выражения можно определить коэффициенты типовой передаточной функции звена ПЗФ 2-го порядка с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

Из (3) видно, что a = g, а из (1), что коэффициент усиления равен 1. Следовательно, эта схема предназначена только для реализации ПЗФ 2-го порядка или звеньев ПЗФ 2-го порядка, имеющих ФНЧ-прототип 1-го порядка.

С учетом того, что для звена ПЗФ 2-го порядка, имеющего ФНЧ-прототип 1-го порядка, , схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: R₁ → Q; R₂ → f₀.

Биквадратная схема

Биквадратная схема показана на рис. 5.34.

Рис. 5.34. Биквадратная схема

Достоинства схемы:

1) высокая возможная добротность:

2) возможность построения звеньев, реализующих как полиномиальные (Баттерворта, Чебышева, Бесселя), так и неполиномиальные аппроксимации ЧХ (инверсный Чебышева, Кауэра).

Недостатки:

1) высокие аппаратные затраты;

2) сложность настройки с учетом обеспечения точных соотношений номиналов резисторов.

(5.25)

(5.26)

(5.27)

Неполиномиальный ФНЧ (инверсный Чебышева и Кауэра);
ФВЧ, ППФ и ПЗФ с неполиномиальным ФНЧ-прототипом:

(5.28)

а)

б)

в)

г)

Рис. 5.35. Фильтры 2-го порядка на основе биквадратной схемы: а) – ФНЧ;
б) – ФВЧ; в) – ППФ; г) – неполиномиальный ФНЧ; ФВЧ, ППФ и ПЗФ
с неполиномиальным ФНЧ-прототипом

Составим систему уравнений для потенциалов φ₁, φ₂, и φ₃ схемы рис. 5.34:

Из (2): . (*)

Подставляем (*), (3) и (4) в (1):

;

;

;

;

. (5.29)

После подстановки в передаточную функцию (5.29) биквадратной схемы значений (5.25), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции полиномиального ФНЧ 2-го порядка:

.

Коэффициенты передаточной функции ФHЧ:

Схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: f_c → R₃; → R₂; k → R₁.

После подстановки в передаточную функцию (5.29) биквадратной схемы значений (5.26), при соблюдении в схеме рис. 5.35, б условия:

(*),

получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции ФВЧ 2-го порядка с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

.

Коэффициенты передаточной функции ФВЧ:

Схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: f_c → R₃; → R₂; k → R₁.

После подстановки в передаточную функцию (5.29) значений (5.27), получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции ППФ 2-го порядка с полиномиальным ФНЧ-прототипом:

.

Коэффициенты передаточной функции ППФ:

Схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: f₀ → R₃; → R₂; k → R₁.

После подстановки в передаточную функцию (5.29) значений (5.28), при соблюдении в схеме рис. 5.35, г условия:

(*),

получается передаточная функция, соответствующая общему виду передаточной функции неполиномиального звена 2-го порядка:

.

Коэффициенты передаточной функции неполиномиального ФHЧ:

Емкость C₁ выбирается из условия:

.

При реализации фильтров, имеющих невысокую добротность, емкость C₂ может быть выбрана равной емкости С₁, но в общем случае они могут быть не равны между собой. Значение R₇ выбирается из условия:

.

Остальные схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: максимальное подавление в полосе задерживания → R₄; f_c → R₃; → R₂; k → R₁ или R₅.

Коэффициенты передаточной функции ФВЧ с неполиномиальным ФНЧ-прототипом:

Емкость C₁ выбирается из условия:

.

При реализации фильтров, имеющих невысокую добротность, емкость C₂ может быть выбрана равной емкости С₁, но в общем случае они могут быть не равны между собой. Значение R₇ выбирается из условия:

.

Остальные схемные элементы выбираются из условий:

Регулировки схемы: максимальное подавление в полосе задерживания → R₄; f_c → R₃; → R₂; k → R₁.

Коэффициенты передаточной функции ППФ и ПЗФ с неполиномиальным ФНЧ-прототипом:

Емкость C₁ выбирается из условия:

.

При реализации фильтров, имеющих невысокую добротность, емкость C₂ может быть выбрана равной емкости С₁, но в общем случае они могут быть не равны между собой. Значение R₇ выбирается из условия:

.

Остальные схемные элементы выбираются из условий:

Если добротность Q и (или) коэффициент усиления k имеют значения более 10, то C₂ и R­₇ должны выбираться таким образом, чтобы сохранился небольшой разброс значений сопротивлений схемы.

Регулировки схемы: максимальное подавление в полосе задерживания → R₄; f₀ → R₃; → R₂; r → R₁ или R₅.

Реализованные на биквадратной схеме неполиномиальный ФНЧ (инверсный Чебышева и Кауэра); ФВЧ, ППФ и ПЗФ с неполиномиальным ФНЧ-прототипом имеют одну и ту же схемную реализацию, и один и тот же вид передаточной функции. Разница в их частотных характеристиках обусловлена различными соотношениями 4-х коэффициентов, входящих в передаточную функцию.