Классификация математических моделей. В качестве основного классификационного признака для математических моделей целесообразно использовать свойства операторов моделирования исхода операции и

В качестве основного классификационного признака для математических моделей целесообразно использовать свойства операторов моделирования исхода операции и оценки показателя ее эффективности.

Оператор моделирования исхода Н может быть функциональным (заданным системой аналитических функций) или алгоритмическим (содержать математические, логические и логико-лингвистические операции, не приводимые к последовательности аналитических функций). Кроме того, он может быть детерминированным (когда каждому элементу множества соответствует детерминированное подмножество значений выходных характеристик модели ) или стохастическим (когда каждому значению множества соответствует случайное подмножество ).

Оператор оценивания показателя эффективности может задавать либо точечно-точечное преобразование (когда каждой точке множества выходных характеристик Y ставится в соответствие единственное значение показателя эффективности W), либо множественно-точечное преобразование (когда показатель эффективности задается на всем множестве полученных в результате моделирования значений выходных характеристик модели).

В зависимости от свойств названных операторов все математические модели подразделяются на три основных класса:

· аналитические;

· статистические;

· имитационные.

Для аналитических моделей характерна детерминированная функциональная связь между элементами множеств U, , Y, а значение показателя эффективности W определяется с помощью точечно-точечного отображения. Аналитические модели имеют весьма широкое распространение. Они хорошо описывают качественный характер (основные тенденции) поведения исследуемых систем. В силу простоты их реализации на ЭВМ и высокой оперативности получения результатов такие модели часто применяются при решении задач синтеза систем, а также при оптимизации вариантов применения в различных операциях.

К статистическим относят математические модели систем, у которых связь между элементами множеств U, , Y задается функциональным оператором Н, а оператор является множественно-точечным отображением, содержащим алгоритмы статистической обработки. Такие модели применяются в тех случаях, когда результат операции является случайным, а конечные функциональные зависимости, связывающие статистические характеристики учитываемых в модели случайных факторов с характеристиками исхода операции, отсутствуют. Причинами случайности исхода операции могут быть случайные внешние воздействия; случайные характеристики внутренних процессов; случайный характер реализации стратегий управления. В статистических моделях сначала формируется представительная выборка значений выходных характеристик модели, а затем производится ее статистическая обработка с целью получения значения скалярного или векторного показателя эффективности.

Имитационными называются математические модели систем, у которых оператор моделирования исхода операции задается алгоритмически. Когда этот оператор является стохастическим, а оператор оценивания эффективности задается множественно-точечным отображением, имеем классическую имитационную модель. Если оператор Н является детерминированным, а оператор задает точечно-точечное отображение, можно говорить о вырожденной имитационной модели,

На рис. 2 представлена классификация наиболее часто встречающихся математических моделей по рассмотренному признаку.

Важно отметить, что при создании аналитических и статистических моделей широко используются их гомоморфные свойства (способность одних и тех же математических моделей описывать различные по физической природе процессы и явления).Для имитационных моделей в наибольшей степени характерен изоморфизм процессов и структур, т.е. взаимно-однозначное соответствие элементов структур и процессов реальной системы элементам ее математического описания и, соответственно, модели.

Вид основных операторов	H
функциональный	алгоритмический
детермин.	стохастих.	детермин.	стохастих.
	Множественно-точечное отображение		Статистические		Имитационные
Точечно-точечное отображение	Аналитические		Имитационные

Рис. 2. Основная классификация математических моделей.

Изоморфизм — соответствие (отношение) между объектами, выражающее тождество их структуры (строения). Именно таким образом организовано большее число классических имитационных моделей. Названное свойство имитационных моделей проиллюстрировано рис. 3. На рисунке обозначены: — система-оригинал; — изоморфное отображение оригинала; — гомоморфное отображение оригинала.

Имитационные модели являются наиболее общими математическими моделями. В силу этого иногда все модели называют имитационными:

· аналитические модели, "имитирующие" только физические законы, на которых основано санкционирова­ние реальной системы, можно рассматривать как имитационные модели I уровня;

· статистические модели, в которых, кроме того, "имитируются" случайные факторы, можно называть имитационными моделями II уровня;

· собственно имитационные модели, в которых еще имитируется и функционирование системы во времени, называют имитационными моделями III уровня.

Рис. 3. Пример изоморфного и гомоморфного отображений.

На рис. 4 представлена классификация моделей (прежде всего аналитических и статистических) по зависимости переменных и параметров от времени. Динамические модели, в которых учитывается изменение времени, подразделяются на стационарные (в которых от времени зависят только входные и выходные характеристики) и нестационарные (в которых от времени могут зависеть либо параметры модели, либо ее структура, либо и то и другое).

Рис. 4. Классификация математических моделей по зависимости переменных и параметров от времени.

На рис. 5 показана классификация математических моделей еще по трем основаниям: по характеру изменения переменных;по особенностям используемого математического аппарата;по способу учета проявления случайностей.

Названия типов (видов) моделей в каждом классе достаточно понятны. Укажем лишь, что в сигнально-стохастических моделях случайными являются только внешние воздействия на систему.

Имитационные модели, как правило, можно отнести к следующим типам:

· по характеру изменения переменных — к дискретно-непрерывным моделям;

· по математическому аппарату — к моделям смешанного типа;

· по способу учета случайности — к стохастическим моделям общего вида.

Рис. 5. Классификация математических моделей.

Лекция № 11

Содержание лекции

Имитационные модели информационных систем... 1

Методологические основы применения метода имитационного моделирования. 1