Периодические стратегии управления запасами

Рассмотрим так называемую «стратегию оперативного управления» - рис. 9.6.

S_max – максимально желаемый размер запаса, ед.; S_т – текущий запас, ед.; S_mi – уровень запаса на момент размещения заказа, ед.; S_с – страховой запас, ед.; Q_з – размер заказа, ед.; d(L) – ожидаемый расход запаса за время поставки, ед.; d(L)_факт – фактический расход запаса за время поставки, ед.; t_з – момент размещения заказа на поставку; L – время выполнения заказа, дней; t_п – момент осуществления поставки; T`- интервал времени между поставками, дней; T_сз – период времени между заказами (const), дней.

Рис. 9.6.Стратегия «оперативного управления»

В «стратегии оперативного управления» период между заказами постоянен (T_сз=const), заказы на пополнение запаса делаются в строго определенные моменты времени (t_з). Объем заказа (Q_з) переменный и рассчитывается таким образом, чтобы уровень запаса после поставки достиг «максимально желаемого уровня» (S_max). При определении объема заказа учитывается текущий уровень запаса на момент подачи заказа S_тi, ожидаемый расход запаса за время выполнения поставки d(L), запасы в пути (ЗП).

Если T_сз (период времени между заказами) больше L (время выполнения заказа), то заказ в «стратегии оперативного управления» производится между двумя смежными поставками. Это наиболее желательный вариант при формировании периодических стратегий управления запасами. Если T_сз меньше L, то это приводит к появлению за время L двух или более заказов. Другими словами, заказ производится в то время, когда предыдущий заказ не поступил потребителю. Это приводит к росту неопределенности системы управления запасами, особенно при больших вариациях ежедневного расхода и времени выполнения заказа.

Формулы для расчета параметров периодической стратегии «оперативного управления» приведены в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Параметры стратегии «оперативного управления»

№	Показатель	Порядок определения показателей
Детерминированный вариант	Стохастический вариант
	Интервал времени между заказами – Тсз, дней; Тсз = const.	- рассчитывается на основе модели EOQ: , где Qо – оптимальная партия поставки (модель Харриса-Уилсона); Dр- число рабочих дней за рассматриваемый период. А – общая потребность в продукте за рассматриваемый период (например, год); определяется на основе плана производства или реализации.	- соответствует установленному на предприятии периоду инвентаризации.
	Время выполнения поставки - L, дней	- обычно указывается в договоре на поставку;	- определяется статистически на основе данных по прошлым поставкам: или , где li – значение времени выполнения i-й поставки, дней; Qi – величина i-й поставки, ед.;

Продолжение табл. 9.2

№	Показатель	Порядок определения показателей
Детерминированный вариант	Стохастический вариант
	Возможное время задержки поставки – τ (σL), дней.	- определяется эмпирически как наибольшее время, на которое может быть задержана поставка) - τ;	- рассчитывается на основании данных о предыдущих поставках: или
	Интенсивность потребления– d, ед./день	или	- среднее значение: , где di – расход в i-й момент времени; N – объем выборки   - прогноз.
	СКО интенсивности потребления – σd		- среднее квадратическое отклонение (СКО):
	Потребление за время поставки – d(L), ед.	- среднее потребление - максимальное потребление	- метод экстраполяции тренда;   - другие методы прогнозирования.

Окончание табл. 9.2

№	Показатель	Порядок определения показателей
Детерминированный вариант	Стохастический вариант
	Страховой запас - Sс, ед.		, где - среднее значение периода времени между заказами, дней
	Sт – текущий запас, ед.
	Максимально желаемый объем запаса– Smax , ед.
	Размер заказа – Qз, ед.	, где Qзi – размер заказа в момент времени i; Sтi – уровень располагаемого запаса на момент времени i; ЗПi – запас в пути на момент времени i.	, где Qзi – размер заказа в момент времени i; Sтi – уровень располагаемого запаса на момент времени i; ЗПi – запас в пути на момент времени i.

Пример 9.1:

В качестве примера рассмотрим процесс реализации некоторого товара «Х» со следующими характеристиками:

- среднесуточный расход ( ) = 8 шт./день;

- СКО среднесуточного расхода (σ_d) = 2,4 шт./день;

- коэффициент вариации среднесуточного расхода (ν_d) = 0,3;

- периодичность заказа (Т_сз) = 12 дней;

- средний (ожидаемый) срок исполнения заказа ( ) = 3 дня;

- СКО срока исполнения заказа (σ_L) = 1

- коэффициент вариации срока исполнения заказа (ν_L) = 0,33.

Предположим также, что заказ на пополнение запасов подается в начале дня и поставки также осуществляется в начале дня.

В отсутствии реальных данных о фактических сроках исполнения заказов поставщиком (L_i) допустим, что:

- срок выполнения поставщиком 1-ого заказа составляет L₁=3 дня;

- 2-ого заказа L₂= 4 дня;

- 3-его заказа L₃= 1 день;

- 4-ого заказа L₄= 3 дня;

- 5-ого заказа L₅= 4 дня и т.д.

Ограничим рассматриваемый период реализации продукции 46-ю днями.

Рассмотрим, как отразится на уровне запасов применение стратегии «оперативного управления».

Учитывая периодичность заказов 12 дней (Т_сз = const) и средний (ожидаемый) срок исполнения заказа 3 дня ( ), первый заказ будет подаваться на 9-й день (12-3=9); 2-й заказ - на 21-й день (12х2–3=21); 3-й заказ - на 33-й день (12х3–3=33) и т.д.

Для расчета страхового запаса воспользуемся соответствующей формулой из табл. 9.2:

, (9.1)

где в качестве коэффициента х_p возьмем 2, что соответствует вероятности отсутствия дефицита продукции на складе Р= 98% (табл. 3.1).

Рассчитаем страховой запас:

Поскольку стратегия «оперативного управления» предполагает пополнение запасов до максимального уровня (S_max), рассчитаем этот уровень, воспользовавшись формулами из табл. 9.2:

(9.2)

Получим .

Примем, что на начало 1-ого дня рассматриваемого 46-ти дневного периода реализации товара «Х» на складе будет находиться его максимальный уровень, то есть 119 ед.

Расчет размеров заказов на пополнение запаса в системе будем осуществлять по формуле:

(9.3)

В расчетах примем, что:

- запасы в пути (ЗП) будут всегда равны 0;

- для прогноза расхода товара за время выполнения поставки ( ) воспользуемся формулой:

(9.4)

Величина заказа в первом цикле рассчитывается следующим образом: из максимального начального уровня запаса (Smax), равного 119 ед. вычитаем остаток запаса на момент размещения заказа (на 9-й день, см. табл. 9.3), равный 35 ед., прибавляем расчетную величину расхода запаса за ожидаемое время выполнения заказа ( ), затем вычитаем величину «заказов в пути» (заказанных ранее, но еще не поступивших на склад), которые в нашем примере равны 0.

В результате получим:

Таким образом, в конце 9-ого дня первого цикла размещается заказ в размере 108 ед. Фактический срок выполнения этого заказа L₁=3 дня, следовательно, заказ будет выполняться 10-й, 11-й и 12-й день, и поступит на склад в начале 13-ого дня (см. табл. 9.3). Остаток на 12-й день составил 9 ед. Таким образом, фактический запас в начале второго цикла составляет 9 + 108 = 117 ед.

Следующий момент размещения заказа наступит на 21-й день. Остаток в конце 21-ого дня (на момент размещения 2-ого заказа) составляет 34 ед., следовательно:

Срок выполнения 2-ого заказа L₂=4 дня, следовательно, заказ будет выполняться 22-й, 23-й, 24-й, и 25-й день и поступит на склад в начале 26-ого дня (см. табл. 9.3). Остаток на 25-й день составит 0, а накопленный к этому моменту дефицит = 2 ед. Предположим, что дефицит будет компенсирован из поставки. Таким образом, фактический запас в начале третьего цикла (на начало 26-ого дня) составит (- 2) + 109 = 107 ед.

Аналогичным образом определяются величины заказов в последующих циклах:

;

Результаты моделирования действия стратегии «оперативного управления» приведены в табл. 9.3. и на рис. 9.7.

Таблица 9.3

Результаты моделирования стратегии «оперативного управления»

Продолжение табл. 9.3

Окончание табл. 9.3

Рис. 9.7. Стратегия «оперативного управления»

Рассмотрим теперь периодическую стратегию«равномерной поставки»(с постоянным размером заказа)(рис. 9.8).

В классической трактовке стратегии «равномерной поставки» период между заказами постоянен(T_сз=const) и объем заказа также постоянен (Q_opt=const). Предлагаем откорректировать классический подход, добавив к постоянной составляющей (Q_opt=const) переменную величину (S_c(L)), которая идет на покрытие израсходованного в предыдущем периоде страхового запаса (S_c(L)). Восполнение страхового запаса может происходить как в период следующей поставки, так и в период между поставками. Формулы для расчета параметров стратегии приведены в табл. 9.4.

S_т – текущий запас, ед.; S_с – страховой запас, ед.; S_с(L)- частьстрахового запаса, израсходованная за время поставки (L)ед.; Q_з – размер заказа, ед.; Q_opt – постоянная, оптимальная, составляющая заказа на пополнение запаса; d(L)_факт – фактический расход запаса за время поставки, ед.; t_з – момент размещения заказа на поставку; L – время выполнения заказа, дней; t_п – момент осуществления поставки; T`- интервал времени между поставками, дней; T_сз – период времени между заказами (const), дней.

Рис. 9.8.Стратегия «равномерной поставки» (с постоянным размером заказа)

Таблица 9.4

Параметры стратегии «равномерной поставки» (с постоянным размером заказа)

№	Показатель	Порядок определения показателей
	Sн – начальный уровень запаса	, где Тсз – интервал времени между заказами; Sс- страховой запас; Qopt – оптимальная составляющая размера заказа; - среднесуточный расход.
	Интервал времени между заказами – Тсз, дней; Тсз = const.	- рассчитывается на основе модели EOQ: , где Qopt – оптимальная партия поставки (модель Харриса-Уилсона); Dр- число рабочих дней за рассматриваемый период. А – общая потребность в продукте за рассматриваемый период (например, год); определяется на основе плана производства или реализации.
	Время выполнения поставки - L, дней	- обычно указывается в договоре на поставку;
	Возможное время задержки поставки – τ (σL), дней.	- определяется эмпирически как наибольшее время, на которое может быть задержана поставка) - τ;
	Интенсивность потребления– d, ед./день
	Страховой запас - Sс, ед.	вариант 1: вариант 2: , где - среднее значение периода времени между смежными заказами, дней.

Окончание табл. 9.4

№	Показатель	Порядок определения показателей
	Размер заказа – Qз, ед.	или , где Qзi – размер заказа в момент времени i; Qopt – оптимальная составляющая размера заказа, она постоянна; Sc (L)– часть страхового запаса, израсходованная за время поставки (L)ед.
	Qopt оптимальная составляющая размера заказа, ед.	модель EOQ
	Sc (L) частьстрахового запаса, израсходованная за время поставки (L), ед.	- определяется по фактическим данным складского учета

Пример 9.2:

Воспользуемся исходными данными из примера 9.1 о параметрах реализации товара «Х» и смоделируем действие стратегии «равномерной поставки» (с постоянным размером заказа) для периода в 46 дней.

Рассчитаем периодичность подачи заказов на пополнение запаса (Т_сз):

(9.5)

Для расчета нам потребуются данные об общей ожидаемой потребности в товаре «Х» за весь рассматриваемый период (A) и оптимальном объеме заказа (Q_opt).

Примем, что число рабочих дней в рассматриваемом периоде 46 (Dр), затраты на осуществление заказа (С₀) составят 1000 у.е., затраты на хранение единицы продукции (С_хр) – 100 у.е. за рассматриваемый период 46 дней.

Рассчитаем оптимальный объем заказа (Q_opt), воспользовавшись классической моделью EOQ Харриса-Уилсона:

(9.6)

Для оценки значения плановой потребности за весь рассматриваемый период (A) воспользуемся формулой:

, (9.7)

где N – общее число дней в рассматриваемом периоде (равно 46 в рассматриваемом примере);

- среднесуточный расход товара «Х», который мы возьмем из исходных данных к примеру 9.1.

Получаем:

Исходя из полученной оптимальной периодичности размещения заказов Т_сз = 11 дней (Т_сз = const) и среднего (ожидаемого) срока исполнения заказа =3 дня, первый заказ будет подаваться на 8-й день (11-3=8); 2-й заказ - на 19-й день (11х2–3=19); 3-й заказ - на 30-й день (11х3–3=30) и т.д.

Реальный срок исполнения заказа L_i обычно отличается от ожидаемого срока выполнения заказа =3 дня. Примем в расчетах следующие сроки выполнения заказов для каждого цикла:

- срок выполнения поставщиком 1-ого заказа составляет L₁=3 дня;

- 2-ого заказа L₂= 4 дня;

- 3-его заказа L₃= 1 день;

- 4-ого заказа L₄= 3 дня;

- 5-ого заказа L₅= 4 дня и т.д.

Первый цикл: размещение заказа на конец 8-го дня, исполнение заказа L₁=3 дня (9-й, 10-й, 11-й день).

Второй цикл: начало цикла – 12-й день, размещение заказа на 19-й день, срок выполнения заказа L₂= 4 дня (20-й, 21-й, 22-й, 23-й день).

Третий цикл: начало цикла – 24-й день, размещение заказа на 30-й день, срок выполнения заказа L₃= 1 дня (31-й день) и т.д.

Для расчета страхового запаса воспользуемся формулой из табл. 9.4.

(9.8)

Коэффициент х_p берем таким же как и в примере 9.1. Получим:

Начальный запас в системе рассчитаем по формуле:

(9.9)

Результаты моделирования действия стратегии «равномерной поставки» приведены в табл. 9.5. и на рис. 9.9.

Таблица 9.5

Результаты моделирования стратегии «равномерной поставки»

Окончание табл. 9.5

Рис. 9.9. Стратегия «равномерной поставки»

Следует отметить, что для расчета объемов заказов на пополнение запаса можно воспользоваться альтернативной формулой, в которой учитывается необходимость пополнения израсходованного страхового запаса:

(9.10)

Например, на конец первого цикла (табл. 9.5) остаток составляет 10 единиц, следовательно, страховой запас израсходован в количестве 13 единиц (23 – 10 = 13), которые по формуле (9.10) включаются в следующий заказ. Таким образом, заказ во втором цикле составил бы 99 единиц.

.

9.4. Стратегии управления с «точкой заказа»

Рассмотрим так называемую (R; Q)-стратегию или «стратегию с фиксированным размером заказа» (рис. 9.10).

В стратегии с фиксированным размером заказа заказ на пополнение запаса делается по достижении определенного порогового уровня текущего запаса или «точки заказа» (ROP). Объем заказа является постоянной величиной (Q_з=Q_opt=const). Стратегия предполагает непрерывный или периодический контроль уровня запаса (Δ→0 или Δ = const).

Формулы для расчета параметров (R; Q) - стратегии приведены в табл. 9.6.

S_т – текущий запас, ед.; S_с – страховой запас, ед.; Q_з – размер заказа, ед.; Q_opt – постоянная, оптимальная, составляющая заказа на пополнение запаса; t_з – момент размещения заказа на поставку; L – время выполнения заказа, дней; t_п – момент осуществления поставки; T`- интервал времени между поставками, дней; Δ – период контроля состояния запасов на складе, дней; ROP – точка заказа, ед.

Рис. 9.10. Стратегия с «точкой заказа» и фиксированным размером заказа, (R; Q) - стратегия

Таблица 9.6

Параметры (R; Q)-стратегии

Продолжение табл. 9.6

№	Показатель	Формула для расчета
	Время выполнения поставки – L, дней	- обычно указывается в договоре на поставку (среднее значение); - определяется статистически на основе данных по прошлым поставкам: или , где li – значение времени выполнения i-й поставки, дней; Qi – величина i-й поставки, ед.;
	Возможное время задержки поставки – τ (σL), дней.	- определяется эмпирически как наибольшее время, на которое может быть задержана поставка) – τ; - рассчитывается на основании данных о предыдущих поставках: или
	Интенсивность потребления – d, ед./день	- среднее значение: , где А – плановый объем потребления. - прогноз, получаемый при использовании математических методов прогнозирования или по данным отдела маркетинга.
	СКО интенсивности потребления – σd
	Потребление за время поставки – d(L), ед.	- можно использовать формулы: - среднее - максимальное - использовать метод экстраполяции тренда; - использовать другие методы прогнозирования.

Окончание табл. 9.6

№	Показатель	Формула для расчета
	Страховой запас – Sс, ед.	- вариант 1: - вариант 2: , где хp – параметр, соответствующий вероятности отсутствия дефицита.
	ROP
	Размер заказа - Qз, ед.	, где Qзi – размер заказа в момент времени i; Qopt – текущий размера заказа; ЗП – запас в пути.
	Qopt оптимальная составляющая размера заказа, ед.	См. модель EOQ (формула Харриса-Уилсона)

Пример 9.3:

Воспользуемся исходными данными из примера 9.1 о параметрах реализации товара «Х» и смоделируем расход запасов с учетом (R; Q)-стратегии для периода в 46 дней.

Рассчитаем значение точки заказа, воспользовавшись соответствующей формулой из табл. 9.6:

, (9.11)

где Δ – период контроля состояния запасов на складе, дней. Примем Δ в расчетах равным 1 дню;

S_c – страховой запас, рассчитываемый по формуле:

, (9.12)

Получим:

Размер заказов на пополнение запаса будем рассчитывать, используя формулу (9.13) по аналогии с примером 9.2.

(9.13)

Таким образом, Q_з1 = Q_opt = 86 ед., где Q_opt – оптимальный размер заказа, рассчитанный по формуле (9.6) – см. пример 9.2.

Начальный запас в системе рассчитаем по формуле:

(9.14)

Результаты моделирования действия (R;Q)-стратегии приведены в табл. 9.7. и на рис. 9.11.

Примем в данном примере, что проверки остатка на складе производятся по данным на начало дня. С 1-го по 7-й день включительно запас выше «точки заказа». На начало 8-го дня уровень запаса достиг 39 ед., что меньше «точки заказа» Следовательно, на 8-й день размещается заказ, срок выполнения которого, по аналогии с примерами 9.1 и 9.2 составит 3 дня (L₁=3 дн.). Заказ выполняется в течении 8-го, 9-го и 10-го дня и поступает на склад на 11-й день.

Следующий момент размещения заказа наступает на 17-й день (начало дня), когда уровень запаса на складе достигает 44 ед. Время выполнения второго заказа L₂=4дня (17-й, 18-й, 19-й и 20-й день), т.о. второй заказ поступит на склад на 21 день.

Третий заказ размещается на 27-й день (начало дня), когда уровень запасов достигнет 45 ед., выполняется третий заказ в течении 1-го дня (L₃=1) и поступает на склад на 28-й день.

Четвертый заказ размещается на 38-й день (начало дня), когда уровень запасов достигнет 44 ед., выполняется четвертый заказ в течении трех дней (L₄=3) и поступает на склад на 41-й день и т.д.

Таблица 9.7

Результаты моделирования действия (R;Q)-стратегии

Окончание табл. 9.7

Рис. 9.11. Стратегия с «точкой заказа» и фиксированным размером заказа, (R; Q) - стратегия

Рассмотрим теперь стратегию двух уровней, так называемую (s-S)-стратегию или «минимаксную стратегию» (см. рис. 9.12.). Данная стратегия предполагает, что заявка на пополнение запаса размещается каждый раз по достижении определенного минимального уровня запаса (S_min или s), объем заказа переменный и рассчитывается таким образом, чтобы уровень запаса после поставки достиг «максимально желаемого уровня» (S_max). При этом осуществляется либо непрерывный, либо периодический контроль уровня запаса (Δ→0 или Δ = const). При определении объема заказа учитывается ожидаемый расход запаса за время выполнения поставки (d(L)) и запасы в пути (ЗП). Формулы для расчета параметров «минимаксной» стратегии приведены в табл. 9.8.

S_max – максимально желаемый размер запаса, ед.; S_т – текущий запас, ед.; S_min – минимальный уровень запаса, по достижении которого размещается заказ, ед.; Δ – период контроля состояния запасов на складе, дней; S_с – страховой запас, ед.; Q_з – размер заказа, ед.; Q_п – величина поставки, ед.; d(L) – ожидаемый расход запаса за время поставки, ед.; d(L)_факт – фактический расход запаса за время поставки, ед.; t_з – момент размещения заказа на поставку; L – время выполнения заказа, дней; t_п – момент осуществления поставки; T`- интервал времени между поставками, дней.

Рис. 9.12. Минимаксная стратегия

Таблица 9.8

Параметры «минимаксной» стратегии

№	Показатель	Порядок определения показателей
Детерминированный вариант	Стохастический вариант
	Интервал между проверками уровня запаса – Δ	- определяется в соответствии с условиями работы склада компании и уровнем автоматизации; может быть непрерывным (в режиме on-line) в случае соответствующего информационного обеспечения склада (Δ→0); может быть периодическим, например, через день, или 1 раз в неделю (Δ = const).	- определяется в соответствии с условиями работы склада компании и уровнем автоматизации; может быть непрерывным (в режиме on-line) в случае соответствующего информационного обеспечения склада (Δ→0); может быть периодическим, например, через день, или 1 раз в неделю (Δ = const).
	Время выполнения поставки – L, дней	- обычно указывается в договоре на поставку (среднее значение);	- определяется статистически на основе данных по прошлым поставкам: или , где li – значение времени выполнения i-й поставки, дней; Qi – величина i-й поставки, ед.;

Продолжение табл. 9.8

№	Показатель	Порядок определения показателей
Детерминированный вариант	Стохастический вариант
	Возможное время задержки поставки – τ (σL), дней.	- определяется эмпирически как наибольшее время, на которое может быть задержана поставка) – τ;	- рассчитывается на основании данных о предыдущих поставках: или
	Интенсивность потребления – d, ед./день	или	- среднее значение: , где di – расход в i-й момент времени; N – объем выборки - прогноз, получаемый при использовании математических методов прогнозирования или по данным отдела маркетинга.
	СКО интенсивности потребления – σd		- среднее квадратическое отклонение от среднего расхода:

Продолжение табл. 9.8

№	Показатель	Порядок определения показателей
Детерминированный вариант	Стохастический вариант
	Потребление за время поставки – d(L), ед.	- можно использовать формулы: - среднее - максимальное	- использовать метод экстраполяции тренда;   - использовать другие методы прогнозирования.
	Страховой запас – Sс, ед.		, где хp – параметр, соответствующий вероятности отсутствия дефицита.
	Smin – пороговый уровень запаса, ед.
	Максимально желаемый объем запаса– Smax , ед.	- вариант 1: , где - среднее значение периода времени между смежными заказами, дней.	, где - среднее значение периода времени между смежными заказами, дней.

Окончание табл. 9.8

№	Показатель	Порядок определения показателей
Детерминированный вариант	Стохастический вариант
	Максимально желаемый объем запаса– Smax , ед.	- вариант 2: , где Sopt – оптимальный размер запаса, рассчитанный с помощью модели EOQ.
	Размер заказа - Qз, ед.	, где Qзi – размер заказа в момент времени i; Smin – пороговый (минимальный) уровень запаса; ЗПi – запас в пути на момент времени i.	, где Qзi – размер заказа в момент времени i; Sm – текущий запас, который ≤ пороговому (минимальному) уровеню запаса; ЗПi – запас в пути на момент времени i.

Пример 9.4:

Воспользуемся исходными данными из примера 9.1 о параметрах реализации товара «Х» и смоделируем действие (s; S)-стратегии для периода в 46 дней.

Расчет страхового запаса осуществим по формуле:

(9.15)

Получаем:

Верхнюю границу уровня запасов (S_max) будем рассчитывать по формуле:

, (9.16)

где S_т – текущий запас. В качестве текущего запаса целесообразно использовать величину оптимального размера заказа (Q_opt). Величина оптимального размера заказа была рассчитана в примере 9.2. Q_opt = 86 ед.

Таким образом, начальный (максимальный) запас в системе будет:

Нижняя граница уровня запасов (S_min) рассчитывается по формуле:

(9.17)