Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов

Отметим следующий интересный факт. Оказывается, если материалы, из которых изготовлены конструкции, обладают линейно-вязко-упругими свойствами, причем они имеют коэффициенты вязкости, пропорциональные жесткостям этих материалов, то напряжения в конструкции не изменятся с течением времени (то есть релаксации не происходит, а происходит только деформация конструкции).

Проверим это на примере железобетонной колонны.

Примем, как и ранее:

Сделаем сечение. На него сверху действуют силы и

Согласно правила знаков:

(9.6.2.1)

Условие совместности деформации:

Полная деформация состоит из упругой части и деформации ползучести:

=

Возьмем производную по времени:

Согласно закону ползучести имеем:

Таким образом:

Подставим в (1) и получим:

(9.6.2.2)

Выразим напряжения через силу P.

Из уравнения равновесия:

Подставим в (9.6.2.2). Учитывая, что получим:

(9.6.2.3)

Запишем начальные условия для .

При t=0 деформаций ползучести еще нет , то есть задача чисто упругая, следовательно, из предыдущих лекций можно записать решение:

t=0: (9.6.2.4.)

В теории линейных уравнений существует теорема: если найдено решение уравнения, которое удовлетворяет всем начальным условиям, то оно единственное.

Проверим, не является ли решением нашего уравнения (9.6.2.3). Подставим в (9.6.2.3.) и получим, что:

(9.6.2.5)

Примем, как говорилось выше, что вязкость стали, так же как и модуль упругости, в 5 раз больше вязкости бетона:

/

Подставляя в (9.6.2.5) получим

Подставив сюда , получаем тождество

Это говорит о том, что является решением дифференциального уравнения, следовательно, оно единственное. Таким образом, в арматуре напряжение не изменится со временем, следовательно, и в бетоне не будет релаксации (это следует из. (9.6.2.1)).

Что и требовалось показать.