Расчет показателей разработки слоистого пласта на основе модели поршневого вытеснения

Показатели, близкие к реальным, получают в ряде случаев при расчете разработки нефтяных месторождений с помощью модели, состоящей из моделей процесса поршневого вытеснения нефти водой и слоистого пласта.

Прежде всего, рассмотрим процесс поршневого вытеснения нефти водой из одного прямолинейного слоя (пропластка) толщиной и длиной , пористостью и проницаемостью (рис. 7.8).

Пусть давление воды, входящей слева в пропласток, равно , а давление воды на выходе из него . Будем считать, что в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоя перепад давления постоянный. В соответствии с моделью поршневого вытеснения нефти водой остаточная нефтенасыщенность в заводненной области слоя остается постоянной, равной . Согласно рис. 7.8, фронт вытеснения занимает в момент времени t положение . Ширина пропластка, измеряемая в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа (см. рис. 7.8), равная ширине всего пласта, составляет . При постоянном перепаде давления на входе в пропласток и на выходе из него расход закачиваемой воды будет изменяться со временем.

Предположим, что в заводненной зоне, т.е. при связанная вода с начальной насыщенностью полностью смешивается с закачиваемой водой, так что условно (см. рис. 7.8) заводненная область насыщена остаточной нефтью и этой смесью. Тогда суммарный объем воды , вошедший в область пропластка при , можно определить по формуле:

,

(7.16)

Дифференцируя это выражение по времени t, получим следующую формулу для расхода воды, поступающей в i-й пропласток:

,

(7.17)

Рис. 7.8 - Модель прямолинейного пропластка при поршневом вытеснении нефти водой.

С другой стороны, можно, согласно обобщенному закону Дарси, т.е. с учетом того, что фазовые проницаемости для воды и нефти соответственно составляют , ( и - постоянные относительные проницаемости), получить для расхода воды следующее выражение:

,

(7.18)

где - вязкость воды.

При рассмотрении процессов вытеснения нефти водой принимают, что нефть и вода - несжимаемые жидкости. Сжимаемость пород пласта также не учитывают. Поэтому, аналогично формуле (7.18), можно написать для дебита нефти, получаемой из того же i-го пропластка, выражение:

,

(7.19)

где - вязкость нефти.

Из выражений (7.18) и (7.19), исключая из них давление на фронте вытеснения, получим

,   .

(7.20)

Приравнивая (7.17) и (7.20), получим следующее дифференциальное уравнение относительно :

,

(7.21)

Интегрируя (7.21) и учитывая, что при t = 0 приходим к следующему квадратному уравнению относительно :

,

(7.22)

Решая это квадратное уравнение, получаем окончательные формулы для определения в пропластке с проницаемостью в любой момент времени.

(7.23)

Для того чтобы получить формулу для определения времени обводнения -го пропластка с проницаемостью , положим в первой формуле (7.23) .

Тогда

,

(7.24)

Из формулы (7.24) следует, что пропласток с очень большой проницаемостью обводнится в самом начале процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта.

Рассмотрим процесс вытеснения нефти водой из слоистого пласта. Для удобства сложим мысленно все пропластки этого пласта в один «штабель», причем таким образом, чтобы абсолютная проницаемость пропластков изменялась последовательно начиная с наименьшей и кончая самой высокой.

Пусть, например, в нижней части этого «штабеля» расположен пропласток с самой большой проницаемостью, а вверху - с наименьшей проницаемостью. Согласно вероятностно-статистической модели слоисто-неоднородного пласта, суммарную толщину пропластков, проницаемость самого проницаемого которых не ниже, чем некоторое значение, равное , можно установить в соответствии с формулой закона распределения проницаемости следующим образом:

,

(7.25)

где - общая толщина всех пропластков в «штабеле».

Формулу (7.25) можно представить в дифференциальном виде, т.е. через плотность распределения, следующим образом:

,

(7.26)

Здесь - плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости.

Вытеснение нефти водой из слоистого пласта в целом можно рассматривать и иным образом, считая, что в некоторые слои толщиной и проницаемостью поступает вода с расходом . Тогда из формул (7.22) и (7.23)

(7.27)

С учетом (7.26) из (7.27), заменяя конечные приращения соответствующих величин их дифференциалами и опуская индекс , найдем

,

(7.28)

Согласно модели поршневого вытеснения, из обводнившихся пропластков нефть не извлекается - из них поступает только вода. Обводняются, конечно, в первую очередь высокопроницаемые пропластки. В используемых в теории разработки нефтяных месторождений моделях пластов могут быть слои с бесконечно большой проницаемостью. Таким образом, к моменту времени , когда обводнятся все слои с проницаемостью , можно добывать нефть лишь из слоев с проницаемостью . В соответствии со сказанным для дебита нефти из рассматриваемого слоистого пласта на основе (7.28) получим следующее выражение:

,

(7.29)

Дебит воды можно определить также с учетом указанных соображений по формуле

,

(7.30)

С помощью приведенных формул можно, задаваясь последовательно значениями времени по (7.24) определять . Затем, предполагая, что плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости известна, можно определить, проинтегрировав (7.29) и (7.30),

, и .

Приведенные выкладки и формулы пригодны, как уже было указано, для случаев, когда в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта перепад давления не изменяется. Когда же задано условие постоянства расхода закачиваемой в слоистый пласт воды, получают несколько иные соотношения для определения дебитов нефти и воды, а также перепада давления, который в данном случае будет изменяться с течением времени. Если , справедливы формулы (7.20) и (7.21), следует при этом учитывать, что перепад давления - функция времени, т. е. .

Введем функцию :

, ,

(7.31)

Из формулы (7.20), если ее записать относительно дифференциалов расхода и толщины пласта , с учетом (7.31) получим:

,

(7.32)

Как и в случае постоянного перепада давления, при постоянном расходе закачиваемой в слоистый пласт воды к некоторому моменту времени часть слоев окажется полностью обводненной и из них будет добываться только вода, из другой, же части будут добывать безводную нефть. Поэтому полный расход закачиваемой во всю толщу слоистого пласта воды можно определить в результате интегрирования выражения (7.32) и прибавления к правой его части интеграла, учитывающего приток воды из обводнившихся слоев. Имеем

,

(7.33)

Обучающемуся предлагается следующая процедура последовательного определения . Вначале следует задаться значением проницаемости , по формуле (7.24) определить время обводнения слоя , после чего для данного вычислить . Затем определяют интегралы, входящие в формулу (7.33), и при заданном . Вычислительные операции повторяют при других меньших значениях для получения зависимости .

Дебит нефти находят по формуле

,

(7.34)

а дебит воды - по формуле

,

(7.35)

В радиальном случае при поршневом вытеснении нефти водой из отдельного слоя вместо уравнения (7.17) будем иметь

,

(7.36)

Пусть в некоторый момент времени фронт вытеснения нефти водой в -м слое дошел до радиуса , где пластовое давление равно . Тогда интегрируя (7.36) от радиуса скважины до радиуса , получим

,

(7.37)

В области , т.е. впереди фронта вытеснения, движется нефть с тем же расходом , так что аналогично (7.37) имеем:

,

(7.38)

Из (7.37) и (7.38)

; ,

(7.39)

Аналогично (7.17) для i-го пропластка

,

(7.40)

Приравнивая правые части (7.39) и (7.40) и опуская индекс , получим

,

(7.41)

Обозначим и проинтегрируем (7.41) при Тогда

,

(7.42)

Теперь можно найти время , соответствующее началу обводнения пропластка с абсолютной проницаемостью . Полагая , получим

(7.43)

Из формулы (7.39)

,

(7.44)

Интегрируя (7.44), как и для прямолинейного случая, при имеем

,

(7.45)

Для вычисления интеграла (7.45) в подынтегральное выражение следует подставить из формулы (7.42). Поэтому в общем случае необходимо определять, по-видимому, численным путем с использованием ЭВМ. Однако, как и в прямолинейном случае, при вычисления упрощаются. Выражение (7.45) превращается в следующую формулу:

,	(7.46)
,	(7.47)

Необходимо задаваться величиной , определять момент обводнения слоя с проницаемостью по формуле (7.43) и в соответствии с известным вероятностно-статистическим законом распределения абсолютной проницаемости определять и .