Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах.

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

.

4. Если от каждой варианты вычесть или прибавить какое-либо произвольное постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число:

.

5. Если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо произвольное постоянное число h, то и средняя также соответственно уменьшится или увеличится в h раз:

; .

6. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число A, то средняя не изменится.

, .

Исходя из данного свойства можно заключить, что в случае равенства всех весов между собой расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической простой приведут к одному и тому же результату.

7.2.2. Средняя гармоническая(k = -1)

Средняя гармоническая простая – средняя величина из обратных значений признаков:

.

Эта форма средней величины в социально-экономических исследованиях практически не используется.

Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда известны значения признака, а веса в явном виде не представлены:

или ,

где w_i = x_i·f_i ,

Пример. Определить по имеющимся данным (табл. 7.4) среднюю заработную плату работника.

Таблица 7.4 – Заработная плата работников

Чтобы получить число работников (f_i), необходимо фонд заработной платы (x_i·f_i) разделить на заработную плату (x_i). Для выполнения расчетов введем дополнительный столбец:

тыс. руб.

Таким образом, средняя заработная плата составляет 37,6 тыс.руб.

7.2.3. Средняя геометрическая (k = 0)

Средняя геометрическая простая:

.

Средняя геометрическая взвешенная:

.

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

7.2.4. Средняя квадратическая (k = 2)

Средняя квадратическая простая:

.

Средняя квадратическая взвешенная:

.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

В статистической практике также находят применение степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени (k) увеличивается и соответствующая средняя величина:

.