Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой.

Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде:

где и - смещения; и - амплитуды; и - начальные фазы складываемых колебаний. Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 7.5), на которой отложены векторы амплитуд и складываемых колебаний под углами и к оси х и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды суммарного колебания . Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось OY, то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим.

Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту. Определим модуль амплитуды А результирующего колебания В угол (из равенства противоположных углов параллелограмма).

Следовательно

отсюда

.

Согласно теореме косинусов

или

(7.12)

Начальная фаза результирующего колебания определяется из :

Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение

Биения

Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга , и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы , т.е.

Сложим эти уравнения аналитически

Преобразуем


Тогда

Так как все же медленно изменяется, величину нельзя назвать амплитудой в полном смысле этого слова (амплитуда величина постоянная). Условно эту величину можно назвать переменной амплитудой. График таких колебаний показан на рис. 1.6 Складываемые колебания имеют одинаковые амплитуды, но различны периоды, при этом периоды отличаются незначительно друг от друга. При сложении таких колебаний наблюдаются биения. Число n биений в секунду определяется разностью частот складываемых колебаний, т.е.

Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и колебаний близки друг к другу.