Классификация математических моделей. Понятие о компьютерном математическом моделировании.

Понятие о компьютерном математическом моделировании.

Модель - материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая структуру или функционирование исследуемого объекта.

Моделирование - представление различных характеристик поведения физической или абстрактной системы с помощью другой системы.

Математическое моделирование - метод исследования процессов и явлений на их математических моделях.

Изучение компьютерного математического моделирования открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками - естественными и социальными. Компьютерное математическое моделирование в разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики.

Математическое моделирование не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограничены и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных. В компьютерном моделировании доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Однако понятия "аналитическое решение" и "компьютерное решение" отнюдь не противостоят друг другу, так как:

а) все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований:

б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей процесса. Эту формулу нужно представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется "визуализацией абстракций". При этом компьютер - незаменимое техническое средство.

Классификация математических моделей

К классификации математических моделей можно подходить по-разному, положив в основу классификации различные принципы.

1) Классификация моделей по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.);

2) Классификация моделей по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.);

3) Классификация моделей с точки зрения целей моделирования.

§ дескриптивные (описательные) модели;

§ оптимизационные модели;

§ многокритериальные модели;

§ игровые модели;

§ имитационные модели.

Пример.

1) Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т.д., т.е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить.

2) Меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизируем процесс.

Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и как можно дешевле.

3) Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным.

4) Бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его.

Имитационная модель - описание системы и ее поведения, которое может быть реализовано и исследовано в ходе операций на компьютере.

Имитационное моделирование - исследование поведения сложной системы на ее модели.

Можно сказать, что чаще всего имитационное моделирование применяется для того, чтобы описать свойства большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто и четко сформулировано. Математическое описание тогда сводится к уровню статистической обработки результатов моделирования при нахождении макроскопических характеристик системы. Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента.

Имитационное моделирование позволяет осуществить проверку гипотез, исследовать влияние различных факторов и параметров.