Основные законы радиоактивных превращений.

Радиоактивный распад происхо­дит так, что количество ядер радиоактивного элемента dN, рас­пав­шихся за бесконечно малый промежуток времени dt, пропор­ционально числу ядер N, не распавшихся к моменту времени t:

-dN = λNdt (1)

где λ - коэффициент пропорциональности, характеризующий ве­роятность рас­пада ядра в единицу времени и называемый по­стоянной распада. Интег­рируя уравнение (1) и полагая, что при t = 0, N = No (No - число атомов радиоактивного ве­щества в начальный момент времени), получим

N = N₀exp(-λt) (2)

Из уравнения (2) следует, что радиоактивный распад подчи­няется экспоненциальному закону.

Из уравнения (1) видно также, что произведение λN характе­ризует ско­рость радиоактивного распада, называемую актив­ностью:

λN= -dN / dt. (3)

То есть можно сказать, что величина λ есть отношение числа распадающихся в единицу времени ядер к имеющемуся к этому времени нераспавшихся ядер. Размерность λ (t^-1)- обратная времени.

Зная величину λ, легко вычислить среднюю продолжитель­ность жизни t_Я радиоактивного ядра. Так как согласно (1) суммар­ная продолжительность жизни атомов, распадающихся в проме­жуток времени между t и t + dt, равна tλNdt, то:

(4)

В практике продолжительность жизни радиоактивных элемен­тов часто характеризуют не величиной t_Я, а периодом полу­распада Т - временем, на протяжении которого распадается половина всех атомов данного радиоактив­ного элемента. Полагая в (2) N = N / 2 при t = Т, получим

T = ln2 / λ ≈ 0.69/ λ ≈ 0.693 t_Я (5)

Для каждого радиоактивного элемента постоянная распада λ и период полураспада Т являются характерными величинами и имеют строго опреде­ленные значения. Для различных же эле­ментов эти параметры резко изменя­ются.

В тех случаях, когда рассматривается распад не отдельно взятого радиоактив­ного элемента, а образующего при этом радиоактивного продукта его распада (дочернего элемента), закон изменения содержания по­следнего во времени может быть найден следующим образом.

Предположим, что в начальный момент времени t = 0 имелось N₀₁ ато­мов исходного элемента, а к моменту времени t имеется N₁ атомов исходного и N₂ атомов дочернего элементов. Очевидно, что скорость накопления дочер­него элемента dN₂/dt будет опре­деляться разностью скоростей распада исход­ного и дочернего элементов:

dN₂/dt = λ₁N₁ – λ₂N₂ (6)

где λ₁ и λ₂ — постоянные распада соответственно исходного и до­чернего элементов.

Подставив в выражение (6) величину N₁ = N₀₁exp(-λ₁t) получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

dN₂/dt + λ₂N₂ = λ₁ N₀₁exp(-λ₁t) (7)

Общее решение уравнения (7) имеет вид

(8)

В случае, когда исходный элемент распадается медленнее про­дукта его распада (λ₁ < λ₂) или (Т₁ > T₂), выражение (8) через промежуток времени, достаточно большой по сравнению с продолжительностью жизни атомов дочернего вещества (t > 10T₂), принимает вид

или с учетом формулы (2)

(9)

Выражение (9) определяет состояние, при котором отношение коли­честв исходного вещества и продуктов его распада стремится к некоторому постоянному значению. Такое состояние называют подвижным равнове­сием.

Если исходное вещество распадается несоизмеримо медленнее продук­та его распада (λ₁ << λ₂) или (Т₁ >> T₂), формула (8) при условии t >> 10T₁ имеет вид N₂/N₁ = λ₁/λ₂ = T₂/T₁ или

(10)

Последнее выражение характеризует такое состояние, когда число распадающихся атомов исходного радиоактивного вещества равно числу распадающихся атомов продукта его распада. Убыль дочернего вещества вследствие распада полностью компенсируется его образованием из исходного. Это состояние называется устой­чивым равновесием.

Классическим примером устойчивого радиоактивного равнове­сия является равновесие между ураном (Т = 4,49*10⁹ лет) и ра­дием (Т = 1540 лет), которое наступает по истечении длительного промежутка времени (t ≈ 16 000 лет) и наблюдается только в древних хорошо сохранившихся горных породах и минералах. Наличие устойчивого радиоактивного равновесия в радиоак­тивных семействах имеет важное значение, так как позволяет судить о содержании в породах радиоактивных элементов по ре­зультатам измерений других элементов рассматриваемого семей­ства.

Процессы радиоактивного распада носят статистический ха­рактер, т. е. число атомов радиоактивного элемента, распадаю­щихся в единицу времени, не строго постоянно, а колеблется около некоторого среднего значения. Вы­со­кая статистическая точ­ность измерений радиоактивности обеспечивается лишь в случае, когда количество распадов в единицу времени достаточно велико или когда измерения проводятся на протяжении достаточно боль­шого промежутка времени.