Некоторые логические функции и реализующие их логические элементы

ЦИФРОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МИКРОСХЕМЫ

 

Основы алгебры логики

 

Основные определения

В зависимости от отсутствия или наличия элементов па­мяти цифро- вые устройства делятся на комбинационные устройства (КУ) и конечные автоматы (последовательные устройства). Выходные сигналы КУ определя- ются совокупностью (комбина­цией) входных сигналов, действующих на некотором интервале времени. Наличие элементов памяти в конечных автоматах обус­ловливает зависимость выходных сигналов на рассматрива- емом интервале от совокупности входных сигналов, действующих как на этом интервале времени, так и на ряде предшествующих интер­валов. В комбинационном устройстве связь между входны­ми x1, x2,… хn и выходными у1, у2, …, уn сигналами цифрового устройства может быть задана функциями вида:

(1.1)

Особенность входных сигналов (независимых переменных) и выходных сигналов (функций) заключается в том, что они могут принимать только два значения: 1 или 0. Такие функции называ­ются логическими,или переключательными, илибулевыми.

Раздел математики, который изучает логические функции, на­зывается алгеброй логики.

Наиболее часто логическая функция задается с помощью таб­лицы. В строках таблицы записываются все возможные наборы значений аргументов и указываются значения логической функ­ции, которые они принимают на каждом наборе. Эту таблицу принято называть таблицей истинности.Для m переменных мо­жет быть 2m различных наборов. Пример логической функции трех аргументов x1, х2, x3 приведен в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Номер набора Х3 Х2 Х1 У Номер набора Х3 Х2 Х1 У

Если рассматривать наборы x3, x2, x1 как двоичные числа, то удобно ввести десятичную нумерацию наборов. Например, набор x3= 1, х2=1, x1 = 0 имеет номер 6.

Вместо таблицы истинности иногда логическую функцию удоб­но задавать словесным описанием. Например, функция у,заданная таблице 1.1, может быть словесно определена так: у=1в том случае, если не менее двух аргументов принимают значение 1.

По способу соединений элементов цифровые устройства делят­ся на два типа: на устройства со статическими (потенциальны­ми) связями между элементами и устройствами с динамическими (импульсными и импульсно-потенциальными) связями между эле­ментами. Учитывая широкое распространение в интегральной схе­мотехнике элементов с потенциальными связями, в дальнейшем будем ориентироваться только на элементы этого класса.

Некоторые логические функции и реализующие их логические элементы

Логическое сложение (дизъюнкция). Логическая функция уявляется логической суммой (дизъюнкцией) переменных y=f(х1, х2, ..., хn),если она равна 1 в тех наборах, на которых хотя бы одна независимая переменная равна 1, и равна 0 в остальных набо­рах. Пример функции у,являющейся логической суммой двух переменных х1 и х2, приведен в таблице 1.2.

Таблица 1.2 Таблица 1.3

Номер набора Х2 Х1 У   Номер набора Х2 Х1 У
 
 
 
 

Логическое сложение двух переменных принято обозначать следующим образом: y=х1 Ú х2,а логическое сложение n переменных

y=x1Ú х2Ú …Ú хn (2)

Схема, с помощью которой из входных переменных х1, х2, ..., хn образуется их логическая сумма, называется логическим эле­ментомИЛИ. Графическое обозначение этого элемента при двух входных переменных приведено на рисунке 1.la.

Логическое умножение (конъюнкция). Логическая функция уявляется логическим произведением (конъюнкцией) переменных

x1, х2, ..., хn,если она равна 1 только на тех наборах, на которых все переменные одновременно равны 1. Пример функции у,явля­ющейся логическим произведением двух переменных х1 и х2,при­веден в таблице 3.

Логическое умножение двух переменных будем обозначать так же, как обозначают обычное алгебраическое умножение y=x1Lx2. Для n переменных можно записать:

Y=х1Lx2L…L xn (1.3)

 

а б в г д

Рисунок 1.1

 

Схема, с помощью которой из входных переменных х1, х2, ..., хn образуется их логическое произведение у, называется логиче­ским элементомИ. Графическое обозначение этого элемента при двух входных переменных приведено на рисунке 1.1б.

Логическое отрицание (инверсия). Логическая функция уяв­ляется логическим отрицанием переменной х,если ее значение противоположно значению переменной х. Функция у, являющаяся отрицанием переменной х, приведена в таблице 1.4. Логическое отрицание принято обозначать Таблица 1.4.

х   у

. Схема, с помо­щью которой реализуется логическое отрицание, называется логи­ческим элементомНЕ. Графическое обозначение этого элемента приведено на рисунке 1.lв.

При построении современных цифровых устройств нашли ши­рокое применение некоторые логические функции, являющиеся простыми комбинациями рассмотренных.

Логическое сложение с отрицанием (стрелка Пирса). Логиче­ская функция уявляется логической суммой с отрицанием незави­симых переменных х1, х2, ..., хn, если она равна 0 на тех наборах, на которых хотя бы одна переменная равна 1. Пример указанной функции при двух переменных приведен в таблице 1.5.

Логическое сложение с отрицанием обозначается . Иногда в литературе пользуются обозначением y=х12. В дальнейшем будем использовать первое обозначение. Для функции nпеременных можно записать:

Схема, реализующая функцию «логическое сложение с отрица­нием», называется логическим элементомИЛИ-НЕ (элементом Пирса). Графическое обозначение элемента при двух переменных приведено на рисунке 1.1г.

Логическое умножение с отрицанием (штрих Шеффера). Ло­гическая функция уявляется логическим произведением с отрицанием

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Номер набора Х2 Х1 У   Номер набора Х2 Х1 У
 
 
 
 

независимых переменных х1, х2, ..., хn, если она равна 1 толь­ко на тех наборах, на которых хотя бы одна переменная равна 0. Пример функции у, являющейся логическим произведением с от­рицанием двух переменных, приведен в таблице 1.6.

Логическое умножение с отрицанием для двух переменных будем обозначать . Иногда в литературе встречается обозна­чение . Для реализации функции «логическое умножение с отрицани­ем» используется логический элемент, называемый элементом И-НЕ (элементом Шеффера). Его графическое обозначение при­ведено на рисунке 1.1д.








Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 604;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.011 сек.