Нечеткие отношения, их свойства и операции над ними. Нечеткие графы.

Аппарат теории нечётких отношений используется при построении теории нечётких автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений.

Пусть -арное отношение является подмножеством декартова произведения множеств: . Подобно нечёткому множеству, нечёткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности, где в общем виде – полная дистрибутивная решетка, , т. е. – частично упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани, а операции объединения и пересечения в удовлетворяют законам дистрибутивности.

Все операции над нечёткими отношениями определяются с помощью этих операций из (дистрибутивной решётки).

Например, если в качестве взять ограниченное множество вещественных чисел, то операциями пересечения и объединения в будут соответственно операции минимума ( ) и максимума ( ). Эти операции определяют операции над нечёткими отношениями. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечётких отношений, являющихся отображением на отрезок , т. е. .

Если множества и конечные, то нечёткое отношение между и можно представить с помощью его матрицы отношения. Первой строке и первому столбцу ставятся в соответствие элементы множеств и , а на пересечении строки и столбца помечается элемент:

			0,5	0,8
	0,7		0,6	0,3
		0,7		0,4

В случае, если множества и совпадают, нечёткое отношение называют нечётким отношением на множестве . В случае конечных или счётных универсальных множеств очевидна интерпретация нечёткого отношения в виде взвешенного графа, в котором каждая пара вершин из соединяется ребром с весом .

Пример: пусть , , тогда нечёткий граф задает некоторое нечёткое отношение .

Все элементы находятся в некотором отношении с элементами .

Операции над нечёткими отношениями:

объединение:

;

пересечение:

;

отношение включения определяется с помощью отношения частичного порядка на :

.

Множество всех нечётких отношений между и образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения, и удовлетворяет следующим тождествам:

1. Идемпотентность:

; .

2. Коммутативность:

; .

3. Ассоциативность:

; .

4. Дистрибутивность:

; .

Свойства нечётких отношений.

Различные типы нечётких отношений определяются с помощью аналитических свойств обычных отношений, причём для нечётких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств.

Нечёткое отношение такое, что называется отношением равенства.

1. Рефлексивность:

.

2. Слабая рефлексивность:

.

3. Сильная рефлексивность:

.

4. Антирефлексивность:

.

5. Слабая антирефлексивность:

.

6. Сильная антирефлексивность:

.

7. Симметричность:

.

8. Антисимметричность:

.

9. Асимметричность:

.

10. Сильная линейность:

.

11. Слабая линейность:

.

12. Транзитивность:

.