Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большойфункцией при х →x₀, если f(x) = .

Определение 2. Функцияf(x) называется бесконечно малой функцией при х →x₀, если f(x) = 0.

Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1.Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2.Пределсуммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

= f(x) φ(x).

Теорема 3.Пределпроизведения двух функций равен произведению их пределов:

= f(x) φ(x).

Теорема 4.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, ¹ 0.

Теорема 5.(О пределе промежуточной функции) Если в окрестности точки x₀выполняются неравенства:

и = = А, то .

Лекция 5.ТЕХНИКА ВЫЧЕСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

Замечательные приделы.

Пример 1.

Будем говорить, что предел отношения двух функций есть неопределенность вида или , если числитель и знаменатель дроби одновременностремятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения , если он существует или установить, что этот предел не существует.

Пример 2.

Из рассмотренного примера следует правило: чтобы раскрыть неопределенность вида при x→x₀ функции, заданной в виде отношения двух многочленов, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель x−x₀ и дробь на него сократить.

При вычислении пределов отношения двух многочленов при x→ для раскрытия неопределенности вида надо числитель и знаменатель дроби разделить на x в старшей степени.

Пример 3.

Пример 4.